Analysis: Metrik und Topologie: Topologische Räume

Ein paar Grundlagen der Topologie werden es uns erlauben, bestimmte Sachverhalte aus der Analysis in einem allgemeineren Rahmen zu formulieren.

Topologische RäumeBearbeiten

Definition: Sei   eine beliebige Menge und   eine Menge von Teilmengen von  . Das Tupel   heißt topologischer Raum mit der Topologie  , wenn gilt:

(enthält die leere Menge und den ganzen Raum)  
Abgeschlossenheit unter beliebiger Vereinigung:    
Abgeschlossenheit unter endlicher Durchschnittsbildung:    

Die Elemente von   heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossene Mengen. Jedes  , das   enthält, heißt Umgebung von  .

Abgeschlossene MengenBearbeiten

Offensichtlich hat die Menge   der abgeschlossenen Mengen die zur Definition dualen Eigenschaften:

(enthält die leere Menge und den ganzen Raum)  
Abgeschlossenheit unter beliebiger Durchschnittsbildung:    
Abgeschlossenheit unter endlicher Vereinigung:    

Hausdorff-RäumeBearbeiten

Definition: Ein topologischer Raum, in dem zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten immer disjunkte offene Umgebungen existieren, heißt Hausdorff-Raum. In einem Hausdorff-Raum   gilt also:  .

BeispieleBearbeiten

Zu einer beliebigen Menge   gibt es immer die diskrete Topologie  , in der jede Menge zugleich offen und abgeschlossen ist, und die indiskrete Topologie  , in der keine Menge außer der leeren und dem ganzen Raum offen oder abgeschlossen ist. Mit ersterer bildet   einen Hausdorff-Raum, mit zweiterer nicht (sofern   mindestens zwei Elemente besitzt).