Analysis: Metrik und Topologie: Topologische Räume

Analysis

Ein paar Grundlagen der Topologie werden es uns erlauben, bestimmte Sachverhalte aus der Analysis in einem allgemeineren Rahmen zu formulieren.

Topologische Räume

Definition: Sei $X$ eine beliebige Menge und ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathfrak {P}}(X)$ eine Menge von Teilmengen von $X$. Das Tupel $\left(X,{\mathcal {T}}\right)$ heißt topologischer Raum mit der Topologie ${\mathcal {T}}$, wenn gilt:

(enthält die leere Menge und den ganzen Raum)		$\emptyset ,X\in {\mathcal {T}}$
Abgeschlossenheit unter beliebiger Vereinigung:	$\forall {\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {T}}$	$\bigcup {\mathcal {M}}\in {\mathcal {T}}$
Abgeschlossenheit unter endlicher Durchschnittsbildung:	$\forall A,B\in {\mathcal {T}}$	$A\cap B\in {\mathcal {T}}$

Die Elemente von ${\mathcal {T}}$ heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossene Mengen. Jedes $A\subseteq X$, das $x\in X$ enthält, heißt Umgebung von $x$.

Abgeschlossene Mengen

Offensichtlich hat die Menge ${\mathcal {A}}:=\left\{A\subset X:X\setminus A\in {\mathcal {T}}\right\}$ der abgeschlossenen Mengen die zur Definition dualen Eigenschaften:

(enthält die leere Menge und den ganzen Raum)		$\emptyset ,X\in {\mathcal {A}}$
Abgeschlossenheit unter beliebiger Durchschnittsbildung:	$\forall {\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {A}}$	$\bigcap {\mathcal {M}}\in {\mathcal {A}}$
Abgeschlossenheit unter endlicher Vereinigung:	$\forall A,B\in {\mathcal {A}}$	$A\cup B\in {\mathcal {A}}$

Hausdorff-Räume

Definition: Ein topologischer Raum, in dem zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten immer disjunkte offene Umgebungen existieren, heißt Hausdorff-Raum. In einem Hausdorff-Raum $\left(X,{\mathcal {T}}\right)$ gilt also: $\forall x,y\in X\exists U,V\in {\mathcal {T}}(U\cap V=\emptyset \wedge x\in U\wedge y\in V)$.

Beispiele

Zu einer beliebigen Menge $X$ gibt es immer die diskrete Topologie ${\mathfrak {P}}(X)$, in der jede Menge zugleich offen und abgeschlossen ist, und die indiskrete Topologie $\left\{\emptyset ,X\right\}$, in der keine Menge außer der leeren und dem ganzen Raum offen oder abgeschlossen ist. Mit ersterer bildet $X$ einen Hausdorff-Raum, mit zweiterer nicht (sofern $X$ mindestens zwei Elemente besitzt).