Analysis: Metrik und Topologie: Metrische Räume

MetrikBearbeiten

Definition: Sei   eine beliebige Menge und   eine Abbildung.   heißt metrischer Raum, wenn gilt:

Positivität:    
Symmetrie:    
Dreiecksungleichung:    

  heißt dann Abstand von   und  ,   heißt offener Ball um   mit Radius  .

Induzierte TopologieBearbeiten

Jeder metrische Raum   lässt sich vermöge der induzierten Topologie   auch als topologischer Raum auffassen. Dann sind die offenen Mengen genau diejenigen, die nur Punkte enthalten, um die offene Bälle mit positivem Radius existieren, die vollständig in der fraglichen Menge liegen.

Umgekehrt lässt sich aber nicht zu jedem topologischen Raum ein passender metrischer Raum finden: Es gibt nicht metrisierbare topologische Räume, denn jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum; zu je zwei verschiedenen Punkten   bilden die offenen Bälle um   und   mit Radius   zwei disjunkte Umgebungen.

Offene Bälle   in metrischen Räumen sind tatsächlich auch im topologischen Sinne offene Mengen, denn da jeder ihrer Punkte   zum Mittelpunkt einen Abstand   hat und somit der Ball   jeweils ganz in   liegt, sind sie Elemente der induzierten Topologie.

BeispieleBearbeiten

  • Die Abbildung, die zwei verschiedenen Punkten immer   und zwei identischen Punkten immer   zuordnet, ist eine Metrik. Sie heißt diskrete Metrik und induziert die diskrete Topologie.
  •   ist die euklidische Metrik. Wenn wir etwa die reellen Zahlen als metrischen Raum auffassen, verwenden wir üblicherweise implizit diese Metrik.