Analysis: Grenzwerte

Grenzwerte von Folgen reeller ZahlenBearbeiten

Definition: Sei   eine Folge reeller Zahlen. Dann heißt   Grenzwert der Folge genau dann, wenn   mit  .

Anschaulich bedeutet dies, dass zu einem beliebig (klein) vorgegebenen positiven "Abstand"   ein Index   existiert (der natürlich von   abhängen darf), so dass alle Folgenglieder mit höherem Index einen kleineren Abstand zu   haben als  .

Schreibweise:  .

Beispiel: Sei   für  . Behauptung:   ist Grenzwert der Folge. Dazu müssen wir zeigen, dass   kleiner ist, als jedes vorgegebene  , wenn nur der Index   groß genug gewählt wird. Wegen   reicht es aus,   zu wählen (die Existenz einer natürlichen Zahl größer als   ist klar nach dem Archimedischen Axiom). Dann folgt für   die Ungleichung   und damit ist gezeigt, dass   Grenzwert der Folge ist.