Analysis: Differenzierbarkeit einer Funktion

Differenzierbarkeit für Funktionen auf BanachräumenBearbeiten

Seien   und   Banachräume, sei   offen und sei   eine Funktion. Dann heißt   differenzierbar in  , falls ein Operator   und eine Funktion   existieren, so daß folgendes gilt:

1.   ist stetig in   mit  

2. Für alle   ist  .

  heißt differenzierbar auf  , wenn   differenzierbar in   ist für alle  

Ist   differenzierbar in  , dann ist der Operator   eindeutig bestimmt.

Sind nämlich   und sind   stetig in   mit   und   bzw.   für  , dann erhält man durch Subtraktion der Gleichungen nach Umstellen die Gleichung   für alle  . Ist nun   mit  , dann ist durch   eine Folge in   definiert mit  . Setzt man nun   für   in obige Gleichung ein, erhält man   und damit   für alle  . Durch Grenzübergang folgt nun mit der Stetigkeit der Funktionen   und  , daß  . Also ist   für alle   mit  . Für beliebiges   folgt dann aus der Linearität der Operatoren   und für   ist die Gleichung trivial.

Der somit eindeutig bestimmte Operator   wird meist mit   bezeichnet. Die Abbildung   heißt Ableitung der Funktion  .


Beispiele:

1. Sei   und sei  . Dann ist   differenzierbar auf ganz   mit   für alle  . Dies folgt einfach aus der Linearität von   wegen   für alle  .

2. Sei   fest und sei  . Dann ist   differenzierbar auf ganz   mit   für alle  . Auch dies ist leicht einsehbar, da   für alle   gilt.

3. Seien   Banachräume, sei   offen, sei   differenzierbar in   und sei  . Dann ist auch die Abbildung   differenzierbar in   mit  .

Aus   folgt wegen Linearität von   die Gleichung   und die Funktion   ist stetig in   als Komposition stetiger Funktionen mit  , also ist  , d.h. ein Operator  , der nach der Funktion   zur Anwendung kommt, kann aus der Ableitung „herausgezogen“ werden. Aber Vorsicht: Stehen   und   in umgekehrter Reihenfolge, folgt aus der Kettenregel:  .


Differenzierbarkeit reeller FunktionenBearbeiten

Im Fall   beachte, daß   isometrisch isomorph ist zu   vermöge der kanonischen Einbettung   mit   mit der Inversen  . Die Aussage „  ist differenzierbar in  “ bedeutet also die Existenz einer reellen Zahl   sowie einer in   stetigen Funktion   mit  , so daß  . Als Schreibweise hierfür wird auch   verwendet, die Ableitung   kann also wiederum als reelle Funktion aufgefaßt werden und wird mit   bezeichnet.