Analysis: Differenzierbarkeit einer Funktion

Differenzierbarkeit für Funktionen auf Banachräumen

Seien $X$ und $Y$ Banachräume, sei $U\subset X$ offen und sei $f:U\rightarrow Y$ eine Funktion. Dann heißt $f$ differenzierbar in $x_{0}\in U$, falls ein Operator $A_{x_{0}}\in {\mathcal {L}}(X,Y)$ und eine Funktion $\varphi _{x_{0}}:U\rightarrow Y$ existieren, so daß folgendes gilt:

1. $\varphi _{x_{0}}$ ist stetig in $x_{0}$ mit $\varphi _{x_{0}}(x_{0})=0$

2. Für alle $x\in U$ ist $f(x)=f(x_{0})+A_{x_{0}}(x-x_{0})+\varphi _{x_{0}}(x)\|x-x_{0}\|$.

$f$ heißt differenzierbar auf $U$, wenn $f$ differenzierbar in $x_{0}$ ist für alle $x_{0}\in U.$

Ist $f$ differenzierbar in $x_{0}\in U$, dann ist der Operator $A_{x_{0}}\in {\mathcal {L}}(X,Y)$ eindeutig bestimmt.

Sind nämlich $A_{x_{0}},B_{x_{0}}\in {\mathcal {L}}(X,Y)$ und sind $\varphi _{x_{0}},\psi _{x_{0}}:U\rightarrow Y$ stetig in $x_{0}$ mit $\varphi _{x_{0}}(x_{0})=0=\psi _{x_{0}}(x_{0})$ und $f(x)=f(x_{0})+A_{x_{0}}(x-x_{0})+\varphi _{x_{0}}(x)\|x-x_{0}\|$ bzw. $f(x)=f(x_{0})+B_{x_{0}}(x-x_{0})+\psi _{x_{0}}(x)\|x-x_{0}\|$ für $x\in U$, dann erhält man durch Subtraktion der Gleichungen nach Umstellen die Gleichung $(A_{x_{0}}-B_{x_{0}})(x-x_{0})=(\psi _{x_{0}}(x)-\varphi _{x_{0}}(x))\|x-x_{0}\|$ für alle $x\in U$. Ist nun $y\in X$ mit $\|y\|=1$, dann ist durch $x_{n}:=x_{0}+{\frac {y}{n}}$ eine Folge in $X$ definiert mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x_{0}$. Setzt man nun $x_{n}$ für $x$ in obige Gleichung ein, erhält man $(A_{x_{0}}-B_{x_{0}})\left({\frac {y}{n}}\right)=(\psi _{x_{0}}(x_{n})-\varphi _{x_{0}}(x_{n})){\frac {1}{n}}$ und damit $(A_{x_{0}}-B_{x_{0}})(y)=(\psi _{x_{0}}(x_{n})-\varphi _{x_{0}}(x_{n}))$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Durch Grenzübergang folgt nun mit der Stetigkeit der Funktionen $\psi _{x_{0}}$ und $\varphi _{x_{0}}$, daß $(A_{x_{0}}-B_{x_{0}})(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }(\psi _{x_{0}}(x_{n})-\varphi _{x_{0}}(x_{n}))=0$. Also ist $A_{x_{0}}(y)=B_{x_{0}}(y)$ für alle $y\in X$ mit $\|y\|=1$. Für beliebiges $0\neq y\in X$ folgt dann aus der Linearität der Operatoren $A_{x_{0}}(y)=\|y\|A_{x_{0}}\left({\frac {y}{\|y\|}}\right)=\|y\|B_{x_{0}}\left({\frac {y}{\|y\|}}\right)=B_{x_{0}}(y)$ und für $y=0$ ist die Gleichung trivial.

Der somit eindeutig bestimmte Operator $A_{x_{0}}\in {\mathcal {L}}(X,Y)$ wird meist mit $\partial f(x_{0})$ bezeichnet. Die Abbildung $\partial f:x_{0}\mapsto \partial f(x_{0})$ heißt Ableitung der Funktion $f$.

Beispiele:

1. Sei $A\in {\mathcal {L}}(X,Y)$ und sei $f:X\rightarrow Y;x\mapsto f(x):=Ax$. Dann ist $f$ differenzierbar auf ganz $X$ mit $\partial f(x)=A$ für alle $x\in X$. Dies folgt einfach aus der Linearität von $A$ wegen $\!\ f(x)=Ax=Ax_{0}+A(x-x_{0})=f(x_{0})+A(x-x_{0})$ für alle $x,x_{0}\in X$.

2. Sei $y_{0}\in Y$ fest und sei $f:X\rightarrow Y;x\mapsto f(x):=y_{0}$. Dann ist $f$ differenzierbar auf ganz $X$ mit $\partial f(x)=0\in {\mathcal {L}}(X,Y)$ für alle $x\in X$. Auch dies ist leicht einsehbar, da $\!\ f(x)=y_{0}=f(x_{0})$ für alle $x,x_{0}\in X$ gilt.

3. Seien $X,Y,Z$ Banachräume, sei $U\subset X$ offen, sei $f:U\rightarrow Y$ differenzierbar in $x_{0}\in U$ und sei $A\in {\mathcal {L}}(Y,Z)$. Dann ist auch die Abbildung $A\circ f:U\rightarrow Z;x\mapsto Af(x)$ differenzierbar in $x_{0}$ mit $\partial (A\circ f)(x)=A\partial f(x)$.

Aus $f(x)=f(x_{0})+\partial f(x_{0})(x-x_{0})+\varphi _{x_{0}}(x)\|x-x_{0}\|$ folgt wegen Linearität von $A$ die Gleichung $Af(x)=Af(x_{0})+A\partial f(x_{0})(x-x_{0})+A\varphi _{x_{0}}(x)\|x-x_{0}\|$ und die Funktion $A\varphi _{x_{0}}$ ist stetig in $x_{0}$ als Komposition stetiger Funktionen mit $A\varphi _{x_{0}}(x_{0})=0$, also ist $\partial (A\circ f)(x)=A\partial f(x)$, d.h. ein Operator $A$, der nach der Funktion $f$ zur Anwendung kommt, kann aus der Ableitung „herausgezogen“ werden. Aber Vorsicht: Stehen $f$ und $A$ in umgekehrter Reihenfolge, folgt aus der Kettenregel: $\partial (f\circ A)(x)=\partial f(Ax)A$.

Differenzierbarkeit reeller Funktionen

Im Fall $X=Y=\mathbb {R}$ beachte, daß ${\mathcal {L}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ isometrisch isomorph ist zu $\mathbb {R}$ vermöge der kanonischen Einbettung $j:\mathbb {R} \rightarrow {\mathcal {L}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} );x\mapsto j_{x}$ mit $\!\ j_{x}(y)=xy$ mit der Inversen $j^{-1}:{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\rightarrow \mathbb {R} ;T\mapsto T(1)$. Die Aussage „$f:U\rightarrow \mathbb {R}$ ist differenzierbar in $x_{0}\in U\subset \mathbb {R}$“ bedeutet also die Existenz einer reellen Zahl $m_{x_{0}}$ sowie einer in $x_{0}$ stetigen Funktion $\varphi _{x_{0}}:U\rightarrow \mathbb {R}$ mit $\varphi _{x_{0}}(x_{0})=0$, so daß $f(x)=f(x_{0})+m_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})+\varphi _{x_{0}}(x)|x-x_{0}|$. Als Schreibweise hierfür wird auch $\!\ f'(x_{0}):=m_{x_{0}}$ verwendet, die Ableitung $\partial f(x)$ kann also wiederum als reelle Funktion aufgefaßt werden und wird mit $\!\ f'$ bezeichnet.