Analysis: Differentiation: Affine Approximation und Differentialquotient

HinweisBearbeiten

So, weiß nicht so recht inwiefern bei Mathe noch gearbeitet werden muss und das organisiert ist, habe einfach mal was dazugeschrieben. Es ist nicht 100%ig wissenschaftlich weil etwas flapsig, sondern so, wie ich es meinen Kindern erklären würde. Ergänzungen sind also nötig!


Ermittlung der lokalen Änderungsrate(des Anstieges m)Bearbeiten

Die Affine Approximation (schrittweise Annäherung) ist die normale Methode, den Differentialquotienten/die Ableitung an einer Stelle   einer stetigen und differenzierbaren Funktion zu ermitteln.

Der Differentialquotient ist die Änderungsrate m(Anstieg). Diese wird in Abbildung 1 durch die Tangente am Graphen der Funktion   am Punkt   repräsentiert. In Abb. 1 wird zuerst eine Gerade durch   und   gezeichnet. Die nächste Gerade durch   und   kommt der Tangente durch den Punkt   schon näher. Die Tangente und die damit zusammenhängende Änderungsrate m wird also als Grenzwert ermittelt.

 

Der Differentialquotient  
(Abstand der Funktionswerte geteilt durch Abstand der Punkte) ist eben die Änderungsrate m, die sich mit kleiner werdendem  , also wenn   immer näher an   heranrückt, der lokalen Änderungsrate m im Punkt   immer mehr annähert.

Beispiel:  

 

Bei    

Bei    

Bei    

Bei    


Wie man sieht, nähert sich der Differentialquotient im Punkt   immer mehr dem Wert 6, je mehr man   an   heranschiebt. Der Wert 6 ist also die Ableitung = Änderungsrate im Punkt   der Funktion  .

Nun ist es natürlich auch möglich, die Ableitung einer ganzen Funktion zu ermitteln. Die Ableitung einer Funktion ist die Funktion  , die für jeden Wert   der Funktion   die lokale Änderungsrate im Punkt   zurückgibt. Das Verfahren ist analog zum obigen, jetzt werden jedoch ganze Funktionen eingesetzt. Wir nehmen als Beispiel wieder die Funktion   und stecken zur Vereinfachung den Abstand   in die Variable  :

 

 

 

 

 

Da h ja so klein wie möglich werden soll ( ), kann der Summand   im Term   vernachlässigt werden. Der Grenzwert   beträgt also  . Die Ableitung der Funktion   ist  .

Dementsprechend können für alle Funktionen, die stetig (in einer Umgebung definiert) und differenzierbar (mit einem solchen Grenzwert) sind, Ableitungen gebildet werden.

AnwendungsbeispieleBearbeiten

BergsteigerBearbeiten

Wenn man die Kurve von oben als eine seitliche Ansicht eines Berges betrachtet, sind die einzelnen Punkte darauf die Höhe des Berges an der Stelle. Wenn man nun wissen will, wie steil der Berg dort ist, berechnet man einfach die Ableitung. Wenn man zusätzlich noch wissen möchte, wie stark die Steigung dort ansteigt, berechnet man die Ableitung von der Ableitung. Diese nennt man auch 2. Ableitung und schreibt sie mit  .

So erhält man:

  •   - Höhe
  •   - Steigung
  • Das Vorzeichen der Krümmung wird durch das Vorzeichen von   bestimmt.   - Krümmung.

GeschwindigkeitBearbeiten

Das gleiche kann man auch mit einer zurückgelegten Strecke machen. Nehmen wir an, dass f(x) die zurückgelegte Strecke eines Autos beschreibt. Dabei ist x die Zeit in Stunden. Also ist f(0)=0 - wir stehen also noch mit dem Auto in der Garage. Bei f(1) sind wir eine Stunde lang gefahren. Sagen wir, wir wären 120km weit mit gleich bleibender Geschwindigkeit gefahren, dann ist f(1)=120.

 

Die Kurve f steigt also gleichmäßig an. Die Geschwindigkeit wird jetzt durch f'(x) beschrieben, was nach ein bisschen Rechnen 120 ergibt.

 

Da wir die ganze Zeit gleich schnell gefahren sind, war die Beschleunigung 0, was auch dem Ergebnis der 2.Ableitung entspricht.

 

  •   - Strecke
  •   - Geschwindigkeit
  •   - Beschleunigung