Analysis: Die reellen Zahlen: Körper

Analysis

Die Analysis beschäftigt sich mit Funktionen reeller Zahlen. Dazu muss zunächst der Begriff der reellen Zahl geklärt werden, was gleich zu Anfang einen kleinen Abstecher in die Algebra erfordert:

Körper

Definition: Sei $K$ eine beliebige Menge mit zwei Abbildungen (Verknüpfungen) $+:K\times K\rightarrow K,\left(x,y\right)\mapsto x+y$ (Addition) und $\cdot :K\times K\rightarrow K,\left(x,y\right)\mapsto x\cdot y$ (Multiplikation) und Elementen $0,1\in K$ (Null und Eins). Das Tupel $\left(K,+,\cdot ,0,1\right)$ heißt Körper, wenn die im folgenden behandelten Axiome (A1), (A2), (A3), (A4), (M1), (M2), (M3), (M4), (D) und (E) erfüllt sind.

Wir werden für die beiden Verknüpfungen wie bereits angedeutet die Infix-Schreibweise verwenden. "$x+y$" ist also dasjenige Element, das die Verknüpfung "$+$" dem Tupel $\left(x,y\right)$ zuordnet. Falls Missverständnisse ausgeschlossen sind, wird meist nicht zwischen der Trägermenge "$K$" und dem Körper selbst unterschieden.

Axiome der Addition

(A1)	Assoziativgesetz:	$\forall _{x,y,z\in K}:$	$(x+y)+z=x+(y+z)$
(A2)	Neutrales Element:	$\forall _{x\in K}:$	$x+0=x$
(A3)	Existenz des Negativen:	$\forall _{x\in K}:\exists _{y\in K}:$	$x+y=0$
(A4)	Kommutativgesetz:	$\forall _{x,y\in K}:$	$x+y=y+x$

Aus diesen ersten vier Axiomen kann man schon einige Folgerungen ziehen. So gibt es etwa nur ein neutrales Element $0\in K$. Gäbe es ein zweites, von der Null verschiedenes Element $n\in K$, das das Axiom (A2) in der Rolle der Null erfüllt, so wäre $n=n+0=0+n=0$, im Widerspruch zur Annahme. (Hier wurde zuerst (A2), dann (A4) und dann (A2) im Bezug auf $n$ angewendet.)

Außerdem ist das Negative eindeutig bestimmt, das heißt, es gibt zu jedem $x\in K$ genau ein $y\in K$, so dass $x+y=0$. Dies beweist man ebenso: Angenommen, es gibt ein von $y$ verschiedenes $z\in K$, für das ebenfalls $x+z=0$ gilt; dann ist $y=y+0=y+(x+z)=(y+x)+z=(x+y)+z=0+z=z+0=z$, im Widerspruch zur Annahme. (Hier wurden die Axiome (A2), (A3) mit z, (A1), (A4), (A3) mit y, (A4) und (A2) verwendet.) Wir schreiben für das Negative von $x$ auch $(-x)$, was, wie wir gerade gesehen haben, eindeutig bestimmt ist und dem $y$ bzw. $z$ von oben entspricht.

Axiome der Multiplikation

(M1)	Assoziativgesetz:	$\forall _{x,y,z\in K}:$	$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
(M2)	Neutrales Element:	$\forall _{x\in K}:$	$x\cdot 1=x$
(M3)	Existenz des Inversen:	$\forall _{x\in K\setminus \left\{0\right\}}:\exists _{y\in K}:$	$x\cdot y=1$
(M4)	Kommutativgesetz:	$\forall _{x,y\in K}:$	$x\cdot y=y\cdot x$

Genau wie bei der Addition beweist man auch für die Multiplikation, dass es nur ein neutrales Element, die Eins, gibt, und dass das inverse Element zu einem beliebigen $x\in K\setminus \left\{0\right\}$ jeweils eindeutig bestimmt ist. Wir bezeichnen es mit $x^{-1}$.

Die beiden Assoziativgesetze erlauben es uns, der besseren Lesbarkeit zuliebe Klammern zu sparen: Wir können statt "$(x+y)+z$" oder "$x+(y+z)$" einfach "$x+y+z$" schreiben.

Da man die Axiome der Multiplikation aus den Axiomen der Addition mit Hilfe der Formel zu variant langen Additionsketten, $x\cdot y=\sum _{i=1}^{x}y_{i}$, herleiten kann, sind die Axiome der Multiplikation faktisch nicht existent, sodass die Axiome der Addition von nun an Axiome der Mathematik genannt werden. ^^

Distributivgesetz und Eins ungleich Null

(D)	Distributivgesetz:	$\forall _{x,y,z\in K}:$	$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
(E)	Eins ungleich Null:		$1\neq 0$

Insbesondere (wegen (E)) enthält also jeder Körper mindestens zwei Elemente.

Beispiel

$K:=\left(\left\{0,1\right\},+,\cdot ,0,1\right)$ ist ein Körper, wenn man die Verknüpfungen folgendermaßen definiert:

$0+0=0$;	$0+1=1$;	$1+0=1$;	$1+1=0$;
$0\cdot 0=0$;	$0\cdot 1=0$;	$1\cdot 0=0$;	$1\cdot 1=1$;

$K$ ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt (ohne Beweis) und somit "der" kleinste Körper, da jeder Körper wenigstens zwei Elemente enthält (s.o.).