Analysis: Alternative Herleitung über die Analysis der endlichen Differenzen

Endlicher FallBearbeiten

Es sei die Reihe gegeben:

 

Der n-te Term dieser Reihe ist gegeben durch   Nun wie sehen jeweils die Differenzen der jeweiligen Terme aus?

 
 
 
 

Diese Werte berechnete man in dem man die "differenz" der Terme nimmt. Als Formel ausgedrückt:

 

Für jede Sequenz  . Beispiele:

 
 
 
 
 

Diese Operation hat nun folgende Eigenschaften:

 
 
 

Der Operator   ist Linear. Weiter gibt es die Produktregel:

 
 

Beispiele:

 
 

Eine gute Übung ist es die mit den üblichen bekannten Funktionen durchzuführen. Nun ist das wichtigste Resultat das fundamentale Theorem der abgeleiteten Sequenzen. Die Summe der abgeleiteten Sequenzen kann durch die ursprüngliche Sequenz gefunden werden.

 

Durch diese erstaunliche Formel kann man nun eine Summationsformel für jede Sequenz herleiten

 
 
 

Nun ist die zweite Differenz definiert als die differenz der differenzen:

 

So das:

 

Dies besagt:

 

Und so weiter für die dritte differenz usw.

Man kann beweisen das wenn zwei Sequenzen:

 

gleich haben, dann sind die zwei Sequenzen gleich weil beide nur gleich sein können wenn die ersten n-Terme gleich sind.

Infinitesimaler FallBearbeiten

Es sei eine Sequenz nun nicht nur an den Punkten 1,2,3 usw. definiert, sondern an einem feinen Gitter wobei die einzelnen Punkte   zwischen einander entfernt liegen, so das der n-te Punkte sich bei   befindet. Alle vorherigen Ideen lassen sich nun leicht übertragen, alles was man machen muss ist nur eine reskalierung um die Länge  . In diesem Fall wird die Sequenz   zu einer Funktion   definiert an allen x Werten. Die abgeleitete Sequenz ist nun gegeben durch

 

Beispiel:

 

Was nur eine reskalierte Version der endlichen Version von   ist. Der Punkt ist nun das wenn   klein ist, und   zwei mal kleiner gemacht wird, dann ist auch die abgeleitete Sequenz zwei mal so klein. Es liegt also eine lineare Abhängigkeit vor. Somit kann man schreiben

 

Beispiel:

 

Geteilt durch  

 

Die Idee ist hier das   so klein wird, das die Ableitung sich nicht mehr verändert. Formal wird es zu einer Prozedur. Etwas das man durch   berechnen kann wird infinitesimal als das Limit beschreiben bei dem   immer kleiner wird. Die infinitesimale Einheit wird nun mit   bezeichnet, was eine "rundere" Version von   darstellt. Die Ableitung kann nun berechnet werden von den endlichen Differenzen:

 

Die zweite Ableitung ist die differenz der differenz:

 

Dadurch kann man auch die dritte Differenz definieren und so weiter.

Die Eigenschaften der endlichen Differenzen übertragen sich nur simpel:

 
 

Die Kettenregel ist eine Regel für hintereinander ausgeführte Funktionen

 

Für endliche Sequenzen stimmt dies nicht. Aber im infinitesimalen Fall

 

Beispiel:

 

Weiter hin ist das Integral:

 

Das Integral bedeutet einfach

 

Die Summe über   zwischen dem Interval   und   in   kleinen Schritten.

Die Summen für analytische Funktionen können über die Gregory Reihe, oder auch Taylor Reihe genannt, bewiesen werden genau so für inverse Funktionen.