Allgemeine und Anorganische Chemie/ Atombau

Atombau

Die moderne Chemie fußt auf der Theorie zum Bau der Atome. Das Verständnis des Atomaufbaus und der daraus erwachsenden Wechselwirkungsmöglichkeiten zwischen den Atomen ist von zentraler Bedeutung in der Chemie. Das nachfolgende Kapitel soll einen ersten Einblick in die Theorie geben.

Geschichte der Atomtheorien

• Leukipp (5. Jhd. v. Chr.):

Er vermutet auf Grund von philosophischen Überlegungen, dass Materie aus kleinsten, unteilbaren Teilchen aufgebaut sei. Diese Teilchen nannte er Atome (griech. atomos = unteilbar).

• Aristoteles (384 - 322 v. Chr.):

Er wendet sich gegen die Atomistische Theorie. Er vermutet eine "materia prima", welche nicht stofflich ist. Aus ihr entstehen "vier Elemente" mit gewissen Grundeigenschaften: Wasser, Feuer, Erde und Luft. Die Eigenschaften der Stoffe resultieren aus Kombinationen der vier Elemente. z. B. Schwefel = Erde + Feuer.

• Paracelsus von Hohenheim (1490 - 1541):

Er führt Stoffeigenschaften auf die Existenz dreier "Prinzipien" zurück: Sulphur (brennbar), Mercurium (metallisch) und Sal (salzartig).

• Robert Boyle (1627 - 1691)

Er erkennt als einer der ersten, dass Materie aus verschiedenen Elementen stofflicher Natur besteht.

• John Dalton (1766 - 1844)

Er nimmt die Theorie von Leukipp wieder auf. Alle Stoffe bestehen aus festen Körpern. Diese sind kugelförmig, fest und unzerstörbar (unteilbar/Atome). Atome verschiedener Elemente haben unterschiedliche Gewichte.

• Curie(2x), Becquerel, Elster, Geitel (um 1895)

Radioaktivität - Uranerz sendet Strahlen aus, welche eine eingewickelte Fotoplatte schwärzen können.

Diese Strahlung besteht aus:

• • alpha-Teilchen (positive Heliumionen)
  • beta-Teilchen (negative Elektronen)
  • gamma-Teilchen (sehr kurzwellige, damit energiereiche Lichtquanten)

Radioaktivität entsteht im Uranerz durch Atomzerfall

• J.J. Thomson

Aus Stoffen lassen sich negative Teilchen (Elektronen) herauslösen. Er folgerte daraus, dass sich in einer positiv geladenen Wolke Elektronen verteilen. Man kann sich das Thomsonsche Atommodell wie eine Erdbeere vorstellen. Alles was rot ist, entspricht dem Fruchtfleisch und die Kerne, welche auf der Haut liegen, sind die Elektronen.

Heutige Modelle

Bohrsches Atommodell

Grundgedanke

1913 veröffentlichte Nils Bohr, ein dänischer Physiker seine Theorie zum Atombau, heute als Bohrsches Atommodell bekannt. Mit diesem Atommodell lassen sich viele physikalische und chemische Erscheinungen erklären. Er postulierte, dass sich die Elektronen auf Kreisbahnen um den Atomkern bewegen. Dabei heben sich Fliehkraft und elektrostatische Kraft zwischen Kern und Elektron auf. Da die Fliehkraft auf höheren Bahnen mit größerem Abstand vom Kern geringer ist, muss auch die Geschwindigkeit auf äußeren Bahnen geringer sein. Es könnten sich rein theoretisch sehr viele Elektronen auf einer Bahn bewegen. Damit ein Elektron sich neben den anderen Elektronen ungestört bewegen kann, muss die Kreisbahn ein Vielfaches der Wellenlänge lang sein. Somit können auch keine beliebigen Kreisbahnen entstehen, sondern lediglich solche, die einem Vielfachen der Wellenlänge des Elektrons entsprechen.

Herleitung von konkreten Formeln

Als erster Ansatz wird postuliert, dass sich Elektronen in Kreisbahnen um den Atomkern bewegen. Um auf diese Weise einen stabilen Zustand zu erhalten, müssen die wirkenden Kräfte, Fliehkraft und elektrostatische Anziehung, sich gegenseitig aufheben:

$F_{z}=F_{c}\,$

${\frac {m\cdot v^{2}}{r}}={\frac {1}{4\cdot \pi \cdot \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {e^{2}}{r^{2}}}$

Fliehkraft = elektrostatische Anziehungskraft

Durch Multiplizieren mit r und Dividieren mit 2 ergibt sich die Formel für die Bahnenergie (Bewegungsenergie) des Elektrons:

$E_{h}={\frac {1}{2}}\cdot m_{e}\cdot v_{n}^{2}={\frac {1}{8\cdot \pi \cdot \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {e^{2}}{r_{n}}}(1)$

$m_{e}$: Masse des Elektrons

$v_{n}$: Geschwindigkeit des Elek. auf der n-ten Bahn

$\epsilon _{o}$: elektrische Feldkonstante

$r_{n}$: Radius der n-ten Bahn

Ein Elektron hat sowohl die Eigenschaften einer Welle wie auch die eines Teilchens. Diese verschiedenen Eigenschaften können, abhängig von der jeweiligen Experimentieranordnung, empirisch erfasst werden. Demnach ist ein Elektron durch keines der beiden Modelle allein, Teilchen oder Welle, vollständig beschreibbar. Diesen Fakt bezeichnet man als Welle-Teilchen-Dualismus. Dieser Dualismus ist dabei jedoch keineswegs so zu verstehen, dass ein Elektron mal ein Teilchen und mal eine Welle ist, sondern Elektronen vereinen immer Wellen- und Teilcheneigenschaften in sich. Die scheinbar unterschiedlichen empirischen Ergebnisse kommen dadurch zustande, dass man sich aufgrund seiner Experimentieranordnung nur mit einem Aspekt des Elektrons befasst. Eine Zusammenführung von Teilchen- und Wellencharakter erfolgt über die de Broglie-Beziehung:

$\lambda ={\frac {h}{p}}$

welche sowohl die Wellennatur, Wellenlänge ($\lambda \,$), als auch Materienatur, Impuls ($p\,$), beinhaltet.

Eine weitere Forderung des Bohrschen Atommodels ist, dass der Bahnumfang ein Vielfaches der Elektronenwellenlänge, welche sich aus der de Broglie-Beziehung ergibt, sein muss. Diese Forderung ist essentiell, da sich die im Kreis laufende Welle nach kurzer Zeit selbst aufgrund von Interferenz auslöschen würde, wenn sie diese Bedingung nicht erfüllen würde. Das würde die Vernichtung des Elektrons und damit des Atoms bedeuten. Es sind demnach nur diskrete Bahnen, auf denen die Elektronen den Kern umlaufen, möglich. Man erhält:

$u_{n}=n\cdot \lambda \,$

Woraus sich für

$u_{n}=2\cdot \pi \cdot r_{n}\,$ ergibt. Und für

$n\cdot \lambda =n\cdot {\frac {h}{p}}=n\cdot {\frac {h}{m_{e}\cdot v_{n}}}$ mit

$P=m_{e}\cdot v_{n}\,$

Durch Dividieren durch 2 und $\pi \,$ erhält man die vorläufige Gleichung (2) für r

$r_{n}={\frac {h}{2\cdot \pi \cdot m_{e}\cdot v_{n}}}\cdot n(2)$

Um den Radius der n-ten Bahn berechnen zu können, ist es notwendig, v zu eliminieren. Man nehme Gleichung (1), multipliziere sie mit 2 und r, so erhält man

$m_{e}\cdot v_{n}^{2}\cdot r_{n}={\frac {e^{2}}{4\cdot \pi \cdot \epsilon _{0}}}(3)$

Man nehme Gleichung (2), multipliziere sie mit m und v, so erhält man

$m_{e}\cdot v_{n}\cdot r_{n}={\frac {h}{2\cdot \pi }}\cdot n(4)$

Dividiert man nun die Gleichungen (3)/(4)

${\frac {m_{e}\cdot v_{n}^{2}\cdot r_{n}}{m_{e}\cdot v_{n}\cdot r_{n}}}={\frac {\frac {e^{2}}{4\cdot \pi \cdot \epsilon _{o}}}{{\frac {h}{2\cdot \pi }}\cdot n}}$

so erhält man nach Kürzen

$v_{n}={\frac {e^{2}}{2\cdot h\cdot \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{n}}(5)$

Setzt man nun Gleichung (5) in Gleichung (2) ein, so erhält man die Endformel zur Radienbestimmung:

$r_{n}={\frac {\epsilon _{0}}{\pi \cdot m_{e}}}\cdot ({\frac {h}{e}})^{2}\cdot n^{2}(6)$

Um nun eine Gleichung für die Bahnenergie zu erhalten, welche nur noch von n abhängig ist, benötigt man Gleichung (1) und (6):

$E_{h}={\frac {e^{2}}{8\cdot pi\cdot \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{r_{n}}}\land r_{n}={\frac {\epsilon _{0}}{\pi \cdot m_{e}}}\cdot ({\frac {h}{e}})^{2}\cdot n^{2}$

Setzt man nun r in E ein, so erhält man:

$E_{n}^{h}={\frac {m_{e}}{2}}\cdot ({\frac {e^{2}}{2\cdot \epsilon _{0}\cdot n}})^{2}$

Mittels Vivalsatz erhält man:

$E_{n}=-E_{n}^{h}$

daraus folgt:

$E_{n}=-{\frac {m_{e}\cdot e^{4}}{8\cdot \epsilon _{0}^{2}\cdot h^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}$

Hieraus lassen sich auch Energiedifferenzen zwischen zwei verschiedenen Bahnen n und m berechnen. Voraussetzung n<m:

$\Delta E_{mn}=E_{m}-E_{n}=(-{\frac {m_{e}\cdot e^{4}}{8\cdot \epsilon _{0}^{2}\cdot h^{2}}}\cdot {\frac {1}{m^{2}}})-(-{\frac {m_{e}\cdot e^{4}}{8\cdot \epsilon _{0}^{2}\cdot h^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}})$

$\Delta E_{mn}={\frac {m_{e}\cdot e^{4}}{8\cdot \epsilon _{0}\cdot h^{2}}}\cdot ({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}})$

Hiermit wäre die Herleitung der gewünschten Formeln erledigt.

Folgende Formeln wurden hergeleitet:

$v_{n}={\frac {e^{2}}{2\cdot h\cdot \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{n}}$

$r_{n}={\frac {\epsilon _{0}}{\pi \cdot m_{e}}}\cdot ({\frac {h}{e}})^{2}\cdot n^{2}$

$E_{n}=-{\frac {m_{e}\cdot e^{4}}{8\cdot \epsilon _{0}^{2}\cdot h^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}$

$\Delta E_{mn}={\frac {m_{e}\cdot e^{4}}{8\cdot \epsilon _{0}\cdot h^{2}}}\cdot ({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}})$

Es folgen nun einige Rechnungen, welche die Nützlichkeit dieses Modells angesichts seiner Fehlerhaftigkeit darstellen:

Gegebene Größen für die Berechnungen:

$e=1,602\cdot 10^{-19}C$ (Ladung des Elektrons, Elementarladung)

$h=6,63\cdot 10^{-34}Js$ (Plancksches Wirkungsquantum)

$\epsilon _{0}=8,85\cdot 10^{-12}F\cdot m^{-1}$ (elektrische Feldkonstante)

$m_{e}=9,11\cdot 10^{-31}kg$ (Masse des Elektrons)

Bahngeschwindigkeiten für n = 1, 2, 3:

$v_{1}\approx 2186{\frac {km}{s}}$

$v_{2}\approx 1093{\frac {km}{s}}$

$v_{3}\approx 728{\frac {km}{s}}$ usw.

Bahnradien für n = 1, 2, 3:

$r_{1}\approx 53\cdot 10^{-12}m=53pm$

$r_{2}\approx 212\cdot 10^{-12}m=212pm$

$r_{3}\approx 477\cdot 10^{-12}m=477pm$

Dies sind keine realen Werte, es ist jedoch erstaunlich, dass die realen Werte sehr nahe bei den Rechenwerten liegen. realer Mittelwert von Atomradien = 100 * 10^-12m.

Energiedifferenzen:

Es werden nun die Spektrallinien der Balmerserie berechnet. Verbrennt man Wasserstoff, so entstehen für Wasserstoff charakteristische Lichtfärbungen. Dies ist damit zu erklären, dass bei der Erhitzung ein Elektron von der zweiten Bahn auf eine höhere n-te Bahn (n>2) gehoben wird. Bei der Abkühlung springt das Elektron zurück auf die zweite Bahn, dabei gibt es Energie ab, welche der Differenz der Bahnenergien entspricht. Die Energie wird in Form von Licht abgegeben. Wenn man E berechnet hat lässt sich über

$E=h\cdot f=h\cdot {\frac {h}{\lambda }}$ die Wellenlänge $\lambda ={\frac {h\cdot c}{E}}$

berechnen.

Linien der Balmer Serie:

n=2,m=3:$E_{32}=3,0257E-19\land \lambda _{32}=657,36nm$

n=2,m=4:$E_{42}=4,0848E-19\land \lambda _{42}=486,93nm$

n=2,m=5:$E_{52}=4,5749E-19\land \lambda _{52}=434,76nm$

n=2,m=6:$E_{62}=4,8412E-19\land \lambda _{62}=410,85nm$

Dieser Effekt ist nicht nur bei Wasserstoff zu beobachten, sondern generell bei jedem Element.

Besetzungsregeln für die Bahnen

Diese wurden empirisch gefunden und lassen sich wissenschaftlich nicht näher erklären.

1. Jede Bahn enthält maximal $2*n^{2}$ Elektronen n=Bahnnummer
2. Eine Außenbahn enthält maximal 8 Elektronen, dies ist ein besonders günstiger Zustand. Er entspricht der Konfiguration von Edelgasen, man spricht daher von Edelgaskonfiguration.
3. Eine Innenbahn wird, falls nach Regel 1 möglich, erst dann mit mehr als 8 Elektronen besetzt, wenn die Außenbahn genau 2 Elektronen enthält.

Kritik am Bohrschen Atommodell

• Bewegte Ladung strahlt elektromagnetische Wellen aus, somit würde ein Elektron auf seiner Bahn an Energie verlieren, langsamer werden, so dass sich dass Gleichgewicht zwischen elektromagnetischer Kraft und Zentripetalkraft kontinuierlich neu einstellen würde. Dies sähe so aus, dass der Radius immer kleiner werden würde und das Elektron schon nach kurzer Zeit in den Kern stürzen würde. Unabhängig davon würden bei einem veränderten Radius die De Broglie Annahmen nicht mehr zutreffen.
• Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass man Ort und Impuls nur bis zu einer gewissen Grenze gleichzeitig messen kann, bzw diese gleichzeitig existent sein können.

$\Delta x\cdot \Delta p=\Delta x\cdot \Delta (m\cdot v)=\Delta x\cdot (m\cdot \Delta v)={\frac {h}{2}}$
Wenn man also versucht, ein Elektron auf eine Kreisbahn zu zwingen, d.h. laut Heisenberg auf der Kern-Elektron-Achse $\Delta x$ gegen 0 laufen zu lassen, dann bekäme das Elektron einen unendlich großen Impuls, welcher bei endlicher Masse eine unendliche Geschwindigkeit hervorrufen würde. Die daraus resultierende Zentripetalkraft würde das Elektron aus dem Atom schleudern.

• Bei vielen Elementen treten im Farbspektrum Linien auf, welche sich nicht durch Energiesprünge zwischen 2 Bahnen erklären lassen, da die dazu benötigte Energie viel zu gering ist.
• Mit dem Bohrschen Atommodell kann man zwar Bindungsverhalten von Stoffen teilweise erklären, es lässt sich allerdings keine Aussage über die räumliche Struktur des entstandenen Moleküls machen, dies ist aber elementar wichtig für die Beschreibung von physikalischen und chemischen Eigenschaften.
• Viele chemische Verbindungen lassen sich nicht mit dem Bohrschen Atommodell erklären.
• Das Bohrsche Atommodell basiert fast ausschließlich auf der Teilchenvorstellung von Elektronen. Da ein Elektron aber sowohl Teilchen als auch Welle ist müssen beide Eigenschaften gleichermaßen in ein Atommodell einfließen.

Orbitalmodell

Objekte unter einer bestimmten Größe gehorchen nicht den Gesetzen der klassischen Newtonschen Mechanik. Das gilt auch für Elementarteilchen wie Elektronen, Protonen oder Neutronen. Um die Eigenschaften dieser Teilchen zu beschreiben wurde die Quantenmechanik entwickelt. Eine Vereinfachung und Anwendung der Quantenmechanik ist das Orbitalmodell, welches im wesentlichen die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten von Elektronen in Atomen und Molekülen beschreiben soll. Da die chemischen Eigenschaften von Atomen und deren Bindungen mit anderen Atomen von Elektronen abhängen, ist dieses Modell sehr hilfreich in der Erklärung von chemischen Eigenschaften.

In Begriffen der klassischen Physik würde man sagen, dass die elektrostatische Anziehungskraft zwischen Kern und Elektron das Elektron im gewissen Maße anzieht und durch seine Geschwindigkeit, das Elektron dieser Kraft entgegenwirkt. Man hat jedoch festgestellt, dass dies nicht, wie nach Bohr auf konkreten Kreisbahnen geschieht, sondern dass sich das Elektron mehr oder weniger frei um den Kern herumbewegt. Da das Elektron auch Welleneigenschaften besitzt, kann man seinen Zustand bzw. seinen Ort mit einer Wellenfunktion beschreiben. Ein Elektron, welches ungestört in der Atomhülle ist, befindet sich demnach nicht an einem konkreten Ort. Vielmehr besitzt es für alle Orte eine bestimmte Aufenthaltswahrscheinlichkeit, die von seinem Quantenzustand (vgl.  Pauli-Prinzip) abhängt. Das Quadrat der Wellenfunktion gibt diese Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Raum, für Elektronen in Atomhüllen auch Orbital genannt, wieder. Weiteres folgt!

Detailierte Informationen zu den vorkommenden Isotpen für alle bekannten chemischen Elemente sortiert nach der Ordnungszahl sind der Tabelle der Isotope zu entnehmen. Für jedes Isotop sind seine Häufigkeit im natürlichen Vorkommen, die Spinparität, radioaktive Zerfallsart und Halbwertszeit angegeben.