Algorithmensammlung: Zahlentheorie: Sieb des Eratosthenes
Sieb des Eratosthenes
BearbeitenDie Spezifikation des Algorithmus in Pseudocode ist in der Wikipedia zu finden.
Prinzip
BearbeitenDas Sieb des Eratosthenes ist ein Verfahren, um alle natürlichen Zahlen (ferner nur mit „Zahlen“ bezeichnet) bis zu einer vorgegebenen Zahl n, einschließlich n selbst, auf Primalität zu testen (zu Primzahlen siehe auch die Seite Primfaktorisierung) und, sofern sie prim sind, auszugeben. Das Sieb des Eratosthenes "zäumt das Pferd von hinten auf": Es werden alle Zahlen bis n (inklusive) größer als 1 hintereinander aufgeschrieben. Dann werden die Zahlen der Reihe nach durchgegangen. Die echten Vielfachen der aktuellen Zahl (für 3 z. B. 6, 9, 12, ...) werden durchgestrichen. Übrig bleiben die Zahlen , die keine echten Vielfachen einer Zahl echt zwischen 1 und sind. Dies sind sämtliche Primzahlen bis zur vorgegebenen Grenze.
Beispiel
BearbeitenSei . Hintereinander werden die Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 aufgeschrieben. Die 2 wird betrachtet und ihre echten Vielfachen weggestrichen: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Dasselbe für die 3: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Übrig sind noch 2, 3, 5 und 7. Dies sind, wie wir überprüfen können, alle Primzahlen im betrachteten Intervall, sodass hier abgebrochen werden kann. Schritte, um das Verfahren zu optimieren, damit der Algorithmus wirklich schon so früh endet, werden im nächsten Absatz besprochen.
Optimierungen eines simplen Durchgehens aller Zahlen und ihrer echten Vielfachen
BearbeitenEs müssen nur die Zahlen bis einschließlich betrachtet werden, wobei den ganzzahligen Anteil (die Abrundungsfunktion) symbolisiert. Denn sei , dann gilt für die Vielfachen: , alle Vielfachen von wurden also bereits als Vielfache von gestrichen.
Bereits gestrichene Zahlen müssen nicht mehr betrachtet werden, da ihre echten Vielfachen garantiert durch einen echten Teiler der gestrichenen Zahl teilbar sind.
Weiter optimieren kann man unter anderem, indem man das Wegstreichen der echten Vielfachen einer Zahl erst bei beginnt. Denn alle Vielfachen sind von der Form mit . Damit wurden sie aber als ganzzahlige Vielfachen einer kleineren Zahl schon überprüft.
Komplexitätstheoretische Beschreibung
BearbeitenDurch diese und weitere Optimierungen lässt sich die Laufzeit auf reduzieren. Beim Vergleich verschiedener Implementierungen und Varianten des Algorithmus ist die Ordnung der Laufzeit aber nur bedingt von Nutzen, da sie Konstanten außer Acht lässt. Bei diesem speziellen Problem wird der Sachverhalt bei einem Vergleich verschiedener Varianten auch bei großen n offensichtlich.
Die Speicherplatzkomplexität lässt sich auf drücken.
Implementierungen
BearbeitenHaskell
BearbeitenEin einfaches Primzahlsieb in der Programmiersprache Haskell implementiert. Der Speicherbedarf des Algorithmus ist in Bits, wobei die Anzahl der auszugebenen Primzahlen und die größte auszugebene Primzahl bezeichnet.
> module Sieve
> where
> sieb :: [Int] -> [Int]
> sieb (l:ls) = l:sieb[x | x <- ls, mod x l /= 0]
> take_primes n = take n $ sieb [2..]
Ausführen via
# hugs Sieve
oder für eine schnellere Version
# ghc -O2 --make Sieve.lhs
# ghci Sieve
Im Haskell-Interpeter zur Ausgabe der beispielsweise ersten 100 Primzahlen:
Prelude Sieve> take_primes 100
C#
BearbeitenFolgende eigenständig lauffähige Konsolenanwendung (.NET 2.0) gibt alle Primzahlen bis n nach dem Sieb des Eratosthenes aus:
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;
namespace eratosthenes
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
int n = 100;
bool[] prime = new bool[n];
//Zuerst alle Zahlen von 2 bis n als Primzahl markieren
for (int i = 2; i < n; i++)
{
prime[i] = true;
}
//Einzelner Abschnitt
{
//Wir wollen bei 2 anfangen
int i = 2;
//Alle Produkte des Teilers i
//angefangen bei 2, bis kleiner n durchlaufen
//Wenn n = 50, dann ist bei i = 7 Schluss, weil das Produkt = 49 ist
for (; i * i < n; i++)
{
//Wenn die Zahl im Array als Primzahl markiert ist
//Was bei den ersten beiden 2 und 3 definitiv der Fall ist
if (prime[i])
{
//Primzahl bis Wurzel(n) ausgeben
Console.WriteLine(i);
//Alle weiteren Produkte des Teilers i
//angefangen beim Produkt i * i bis kleiner n durchlaufen
//j wird mit i beim nächsten Durchlauf (Vielfaches) addiert
for (int j = i * i; j < n; j += i)
{
//Dies kann unmöglich eine Primzahl sein
//weil es ein Vielfaches von i ist.
prime[j] = false;
}
}
}
//Alle Primzahlen ausgeben
for (; i < n; i++)
{
if (prime[i])
{
Console.WriteLine(i);
}
}
}
Console.ReadLine();
}
}
}
Delphi
BearbeitenFolgende Konsolenanwendung gibt mit Hilfe der Funktion isPrim() von einer bestimmten Zahlenmenge die Primzahlen aus.
program Primzahl;
{$APPTYPE CONSOLE}
uses
SysUtils;
function IsPrim(AInteger: Integer): boolean;
var
i: Integer;
begin
result := true;
if (AInteger <= 1) then //Wenn Zahl kleiner ist als 2: keine Primzahl
begin
result := false;
exit; //Funktion beenden
end;
for i := 2 to Round(Sqrt(AInteger)) do //Wenn eine Zahl n von 2 bis Wurzel(n)
begin // nicht teilbar ist, ist sie eine Primzahl
if AInteger mod i = 0 then //mod: Modulo = Rest
begin
result := false;
exit;
end;
end;
end;
var
a, b: Integer;
i: Integer;
begin
Write('von: ');
Readln(a); //a abfragen
Write('bis: ');
Readln(b); //b abfragen
for i := a to b do
if IsPrim (i) then Writeln(i); //wenn i eine Primzahl ist: i ausgeben
Readln;
end.
Python
BearbeitenDieses Script bittet den Benutzer zuerst nach einer Obergrenze und gibt danach alle Primzahlen bis zu dieser Grenze aus.
#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
def main():
# Frage den Benutzer nach einer Obergrenze bis zu der gesucht werden soll
while True:
try:
obergrenze = int(raw_input('Bitte geben Sie eine Obergrenze ein: '))
break
except ValueError:
print 'Dies ist keine gültige Obergrenze. Bitte verwenden Sie eine Ganzzahl!'
# Jede Zahl zwischen 1 und obergrenze wird zuerst als prim angenommen
zahlen = [True]*(obergrenze+1)
# Da 0 und 1 keine Primzahlen sind, werden sie auf False gesetzt
zahlen[0] = False
zahlen[1] = False
i = 2
while i*i <= obergrenze:
if zahlen[i]: # Die Zahl i ist als prim markiert
# Streiche alle Vielfachen von i
for k in range(i*i,obergrenze+1,i):
zahlen[k] = False
i = i+1
# Ausgabe aller gefundenen Zahlen
for i, v in enumerate(zahlen):
if v:
print i, 'ist prim.'
return 0
if __name__ == '__main__':
main()
Oder mit set für die zusammengesetzten Zahlen:
#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# Python 3
# Frage den Benutzer nach einer Obergrenze bis zu der gesucht werden soll
while True:
try:
obergrenze = int(input('Bitte geben Sie eine Obergrenze ein: '))
break
except ValueError:
print ('Dies ist keine gültige Obergrenze. Bitte verwenden Sie eine Ganzzahl!')
print (2)
noprime = set()
for n in range (3, obergrenze+1, 2):
if n not in noprime:
print (n)
# alle ungeraden Vielfachen von n von n*n bis Obergrenze in ein set aufnehmen:
for i in range(n*n, obergrenze+1, 2*n):
noprime.add(i)
else: noprime.discard(n) # wird nicht mehr gebraucht; dieser Schritt kann auch weggelassen werden
C++
BearbeitenDas Programm fragt zunächst nach einer Obergrenze und gibt dann alle Primzahlen bis zu dieser aus.
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(void){
unsigned limit;
cout << "Please insert upper limit.\n";
cin >> limit;
bool *Stroke = new bool[limit+1];
Stroke[0]=1;
Stroke[1]=1;
for(unsigned i=2; i<=limit; ++i) Stroke[i] = 0;
unsigned prime=2;
while(pow((double)prime,2.0)<=limit){
for(unsigned i = (int)pow((double)prime,2.0); i<=limit; i+=prime){
Stroke[i]=1;
}
do ++prime; while(Stroke[prime]);
}
cout << "\nPrimes less or equal " << limit << " are:\n";
for(unsigned i=0; i<=limit; ++i){
if(!Stroke[i]) cout << i << endl;
}
delete[] Stroke;
return 0;
}
Eine andere Variante, die neuere Sprachfeatures (Lambdas, automatische Typableitung - C++11) sowie Container und Algorithmen der Standard Template Library (STL) benutzt, ist die nachfolgende. Dabei wird das Erase-Remove-Idiom benutzt: Der STL-Algorithmus remove_if schiebt alle Elemente des std::vector-Containers, die das durch ein Lambda-Konstrukt ([p](auto q){ ... }) formulierte Teilbarkeits-Kriterium erfüllen, ans Ende des Containers und gibt einen Iterator, der auf den Anfang des zu löschenden Bereiches zeigt, zurück. Mit candidates.erase(..., end(candidates)) schließlich wird der gesamte Bereich gelöscht (was intern lediglich eine Änderung der Längen-Variablen des Containers bedeutet).
#include <iostream>
#include <iterator>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <numeric>
using namespace std;
vector<unsigned> primes_upto(unsigned limit)
{
vector<unsigned> candidates(limit - 1);
iota(begin(candidates), end(candidates), 2); // candidates = 2, 3, ..., n
auto const upper_limit = (limit + 1) / 2; // ceil(limit/2)
for (auto candidate = begin(candidates); // vector<unsigned>::iterator
*candidate <= upper_limit;
++candidate)
{
auto const p = *candidate;
// 'erase-remove idiom':
// remove_if(...) moves all multiples of p to the end and returns
// an iterator to the beginning of the (re)moved part;
// candidates.erase(..., end(candidates)) actually deletes these values
candidates.erase(remove_if(candidate + 1, // don't remove p itself
end(candidates),
[p](auto q){ // capture p by value
return (q % p == 0);
}),
end(candidates));
}
return candidates; // copy elision guaranteed by C++ standard
}
int main()
{
unsigned limit;
cout << "Please insert upper limit.\n";
cin >> limit;
auto primes = primes_upto(limit);
for (auto p : primes)
cout << p << " ";
cout << endl;
}
Limit heißt die Obergrenze, bis zu der alle Primzahlen ausgegeben werden.
sieb<-function(limit){
(vek<-2:limit)[1==apply(0==outer(vek, vek, "%%"), 1, sum)]
# Primzahlen bis limit
# %% Division mit Rest oder modulo
}
Go
BearbeitenHier ein möglicher Quelltext eines Go-Programms zur Ausgabe der Primzahlen von 1-1000 (Der Bereich kann natürlich beliebig erweitert werden). Die Primzahlen werden dann in der Console ausgegeben. Dieses Programm kann auf der offiziellen Golang-Seite ausprobiert werden. Die Erklärungen sind identisch mit denen vom Java-Quellcode.
package main
import "math"
func main () {
var limit uint = 1000
var zahl, zaehler uint
var primzahl bool
for zahl = 2; zahl <= limit; zahl++ {
primzahl = true
for zaehler = 2; zaehler <= zahl/2; zaehler++ {
if math.Mod(float64(zahl), float64(zaehler)) == 0 {
primzahl = false
break
}
}
if primzahl == true {
println(zahl, " ist eine Primzahl")
}
}
}