Satz (Hilbertscher Nullstellensatz):
Es sei
ein algebraisch abgeschlossener Körper und
ein echtes Ideal. Dann ist
nichtleer.
Beweis: Wir wählen ein maximales Ideal
aus, sodass
. Durch Induktion über
wollen wir nun beweisen, dass jedes maximale Ideal von
der Gestalt
für gewisse Konstanten
ist; dann enthält ja
den Punkt
. Es gilt
mit
. Nach dem Satz von Goldman‒Krull und Induktion über
ist
ein Gleichradikalring. Gemäß der Klassifikation der maximalen Ideale in einem Polynomring über einen Gleichradikalring ist
von der Gestalt
, wobei
maximal ist und
ein Urbild via
eines irreduziblen Polynoms in
ist. Allerdings gilt nach Induktion über
, dass
und daher die kanonische Abbildung
ein Isomorphismus ist, da sie sich als Komposition von Isomorphismen
![{\displaystyle k\to k[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]/\langle x_{1},\ldots ,x_{n-1}\rangle \to k[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]/\langle x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n-1}-\alpha _{n-1}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb99b5919a5ad8cf07516eaf181cedaf2480cf2)
herausstellt, wobei der letztere Morphismus der Quotient von
ist. Daher können wir
als ein irreduzibles Polynom aus
wählen. Da aber
algebraisch abgeschlossen ist, ist
linear, was die Behauptung beweist.
Satz (Hilbertscher Korrespondenzsatz):
Auf dem Gitter (bezügl. Inklusion) aller radikalen Ideale
(mit Schnitt und Summe von Idealen) definieren wir die Funktion
.
Dies ist ein ordnungsumkehrender Isomorphismus von Gittern (wobei auf algebraischen Mengen die mengentheoretische Gitterstruktur gegeben ist).
Dabei korrespondieren Primideale mit hyperzusammenhängenden algebraischen Mengen.