Überblick zur Mechanik der 9. Klasse

Dieses Buch steht im Regal Physik sowie im Regal Schule.

Grundlegendes

Versuch: Auf einem Tisch platzieren wir einen Holzklotz (siehe Bild) und verbinden ihn mit einem Kraftmesser.

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  Ruhender Holzklotz
• 
  Bewegter Holzklotz

Beobachtung: Um einen Körper in Bewegung zu setzen, benötigt man die maximale Kraft $F_{1}$. Bewegt sich derselbe Körper schon, benötigt man nur noch die Kraft $F_{2}$. Für alle Körper gilt: $F_{1}>F_{2}$

Erklärung: Selbst für uns glatte Oberflächen sind bei starker Vergrößerung uneben - die Unebenheiten von Körper und Untergrund verhaken sich. Der ruhende Körper verhakt sich stärker als der bewegte.

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  Verhakung eines ruhenden Holzklotzes mit dem Untergrund
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  Verhakung eines bewegten Holzklotzes mit dem Untergrund

Haft- und Gleitreibung

Haftreibungskraft

Die Haftreibungskraft $F_{HR}$ ist die Kraft, die aufgewendet werden muss, um einen Körper in Bewegung zu versetzen. Sie ist der späteren Bewegungsrichtung entgegengesetzt.

Gleitreibungskraft

Die Gleitreibungskraft $F_{GR}$ ist die Kraft, die aufgewendet werden muss, um einen Körper in Bewegung zu halten. Auch sie ist der Bewegungsrichtung entgegengesetzt.

Beide Kräfte hängen davon ab, wie stark Körper und Untergrund zusammengepresst werden, also genauer gesagt vom Druck, d.h. von der Kraftkomponente $m$ pro Flächeneinheit, die senkrecht auf den Untergrund wirkt.

${\begin{aligned}F_{HR}&\sim m\\F_{GR}&\sim m\end{aligned}}$

Die Größe der Auflagefläche spielt dabei keine Rolle, denn es kommt auf den Druck an. Natürlich sind die Materialien und die Beschaffenheit der Oberflächen von Bedeutung, sie bestimmen die Haftreibungszahl $\mu _{H}$ und die Gleitreibungszahl $\mu _{R}$.

In dem oben dargestellten Modell eines Klotzes auf einer waagerechten Fläche unter dem Einfluss der Erdanziehung ist dieser besagte Anpressdruck durch das Gewicht des Klotzes gegeben. Es gilt ($F_{G}$ ist die Gewichtskraft):

${\frac {F_{HR}}{F_{G}}}=\mu _{HR}{\text{ und }}{\frac {F_{GR}}{F_{G}}}=\mu _{GR}$

Reibungsgesetz auf der Ebene

Der Betrag der maximalen Haftreibungskraftkraft $F_{\mathrm {HR} }$ bzw. der Gleitreibungskraft $F_{\mathrm {GR} }$ ist zur Gewichtskraft $F_{\mathrm {G} }$ direkt proportional. Es gilt $F_{\mathrm {HR} }=\mu _{\mathrm {HR} }\cdot F_{\mathrm {G} }$ und $F_{\mathrm {GR} }=\mu _{\mathrm {GR} }\cdot F_{\mathrm {G} }$.

Beispiel 1

Haft- und Gleitreibungskraft eines Holzklotzes mit $F_{G}=30\,\mathrm {N}$ auf einem Holzboden mit $\mu _{\mathrm {HR} }=0{,}6$ und $\mu _{\mathrm {GR} }=0{,}4$:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rlll}F_{\mathrm {HR} }&=\mu _{HR}\cdot F_{\mathrm {G} }&=0{,}6\cdot 30\,\mathrm {N} &=18\,\mathrm {N} \\F_{\mathrm {GR} }&=\mu _{GR}\cdot F_{\mathrm {G} }&=0{,}4\cdot 30\,\mathrm {N} &=12\,\mathrm {N} \end{array}}\end{aligned}}$

Beispiel 2

Reibungszahl einer Tasse mit $F_{\mathrm {G} }=0{,}32\,\mathrm {N}$, unter der die Tischdecke mit $F_{2}=0{,}11\,\mathrm {N}$ weggezogen wird:

$\mu _{R}={\frac {F_{2}}{F_{\mathrm {G} }}}={\frac {0{,}11\,\mathrm {N} }{0{,}32\,\mathrm {N} }}=0{,}32$

Geltende Ziffern

Hier gleich ein Satz den man sich unbedingt merken sollte:

„Wer misst, misst Mist!”

Erklärung: Jede physikalische Messung weist Fehler auf, so dass das Ergebnis stets nur eine begrenzte Genauigkeit hat. Kombiniert man nun mehrere solcher ungenauer Werte zu einem Gesamtergebnis, kann dieses noch ungenauer sein als alle beteiligten Komponenten. Deshalb muss man eine sogenannte Fehlerrechnung machen, die den Geltungsbereich des Ergebnisses angibt. Sehr stark vereinfacht kann man sich für einfachste Berechnungen merken:

Ein physikalisches Ergebnis hat immer so viele geltende Ziffern, wie der beteiligte Messwert mit den wenigsten Ziffern.

Erklärung: Bei 5512/684 kommt ein sehr krummes Ergebnis raus. Die Taschenrechneranzeige spuckt das aus: 8,058479532163 und es geht sogar noch weiter. Allerdings handelt es sich in der Physik bei den Ausgangswerten eben um Messwerte, und die sind von sich aus auch schon nicht so genau. Deswegen schaut man immer, wie viele Ziffern die kürzeste Zahl hat, und rundet dann entsprechend. Bei uns sind es bei 684 3 Ziffern, also Runden wir im Endergebnis auf 3 Stellen: 8,06

Schon besser, oder? Aber aufgepasst: bei 0,384 sind es nicht 4 geltende Ziffern, sondern 3!

Hebelgesetz

Der Versuch

• 
  Möglichkeit 1
• 
  Möglichkeit 2
• 
  Möglichkeit 3

Auf der linken Seite hängen 2 Gewichtsstücke mit jeweils $F_{\mathrm {G} }=1\,\mathrm {N}$ im Abstand von $2\,\mathrm {cm}$ vom Drehpunkt. Der Hebel ist im Gleichgewicht,

• wenn 1 Gewichtsstück im Abstand von $4\,\mathrm {cm}$ vom Drehpunkt hängt, oder
• wenn 2 Gewichtsstücke im Abstand von $2\,\mathrm {cm}$ vom Drehpunkt hängen, oder
• wenn 4 Gewichtsstücke im Abstand von $1\,\mathrm {cm}$ vom Drehpunkt hängen.

Das Hebelgesetz

Am Hebel herrscht Gleichgewicht, wenn das linksdrehende Drehmoment $M_{\mathrm {L} }$ gleich dem rechtsdrehenden Drehmoment $M_{\mathrm {R} }$ ist. Jedes Drehmoment M ist das Produkt aus der Kraft F mal der Länge des Hebelarms l.

Wenn Gleichgewicht herrscht, gilt also: $M_{\mathrm {L} }=F_{\mathrm {L} }\cdot l_{\mathrm {L} }=M_{\mathrm {R} }=F_{\mathrm {R} }\cdot l_{\mathrm {R} }$

Beispiel

Wohin müsste man bei dem obigen Versuch ein 40 N schweres Gewicht an die rechte Seite hängen, damit der Hebel im Gleichgewicht bleibt?

${\begin{aligned}F_{\mathrm {L} }\cdot l_{\mathrm {L} }&=F_{\mathrm {R} }\cdot l_{\mathrm {R} }\\l_{\mathrm {R} }&={\frac {F_{\mathrm {L} }\cdot l_{\mathrm {L} }}{F_{\mathrm {R} }}}\\l_{\mathrm {R} }&={\frac {2\,\mathrm {N} \cdot 2\,\mathrm {cm} }{40\,\mathrm {N} }}=0{,}1\,\mathrm {cm} \end{aligned}}$

Flaschenzug

Ein Flaschenzug

Wenn man bei einem Flaschenzug nur halb so stark ziehen muss wie ohne, muss man auch doppelt so lang ziehen. Durch diesen Effekt wird immer dieselbe Arbeit

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}$

(s ist die Strecke) verrichtet. Um zu wissen, wie stark und wie lang man ziehen muss, teilt man die Gewichtskraft des zu hebenden Körpers $F_{\mathrm {G} }$ durch die Anzahl der Rollen m und multipliziert die Höhe mit selbiger. Hier als Formel (Zuglänge ist l, die zu erreichende Höhe ist h):

${\begin{aligned}F&={\frac {F_{\mathrm {G} }}{m}}\\l&=h\cdot m\end{aligned}}$

Wie stark und lang musst du also ziehen, um deinen Physiklehrer ($F_{\mathrm {G} }=600\,\mathrm {N}$) mit einem Flaschenzug mit 3 Rollen auf den 2 Meter hohen Schrank zu setzen, wenn er nervig wird? Mal sehen:

${\begin{aligned}F&={\frac {F_{\mathrm {G} }}{m}}\\F&={\frac {600\,\mathrm {N} }{3}}=200\,\mathrm {N} \\l&=h\cdot m\\l&=2\,\mathrm {m} \cdot 3=6\,\mathrm {m} \end{aligned}}$

Ok, du musst also bei 3 Rollen mit 200 N 6 m Seil ziehen. Das sollte leicht zu schaffen sein ;-)

Goldene Regel der Mechanik

Bei allen Kraftwandlern gilt: Was man an Kraft spart, muss man an Weg zulegen.

Arbeit

Definition

Arbeit ist das Produkt aus Strecke und in Richtung der Strecke wirkender Kraft. Es gilt:

$W=F\cdot s$

Die Einheit der Arbeit ist Joule: $[W]=1\,\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} =1\,\mathrm {J}$

Es gibt die folgenden mechanischen Arbeiten:

• Hubarbeit
• Beschleunigungsarbeit
• Spannarbeit
• Reibungsarbeit

Beispiel

Ein Körper mit dem Gewicht $m=100\,\mathrm {g}$ wird um $h=1{,}0\,\mathrm {m}$ angehoben. Wie groß ist die zu verrichtende Arbeit?

Für die Gravitationskraft an der Erdoberfläche gilt:

$F_{\mathrm {G} }=m\cdot g$

und damit

$F_{\mathrm {G} }=0{,}1\,\mathrm {kg} \cdot 9{,}81{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {kg} }}=0{,}981\mathrm {N}$

Für die Arbeit gilt:

$W=F_{\mathrm {G} }\cdot h$

und folglich

$W=0{,}981\,\mathrm {N} \cdot 1{,}0\mathrm {m} =0{,}981\,\mathrm {J}$

Leistung

Beispiele aus dem Alltag

• In einem Test wie z. B. einer Schulaufgabe bei gleicher Zeit möglichst viele Aufgaben lösen.
• Beim Sport, wie z. B. dem 100-Meter-Lauf für die gleiche Strecke möglichst wenig Zeit benötigen.

Definition

Der Quotient aus der verrichteten Arbeit $W$ und der benötigten Zeit $t$ heißt Leistung $P$. Die Formel lautet:

${\text{Leistung}}={\frac {\text{Arbeit}}{\text{Zeit}}}\quad \Rightarrow \quad P={\frac {W}{t}}$

Die Einheit ist: Watt $[P]=1\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {s} }}=1\,\mathrm {W}$

Wichtige Einheiten:

${\begin{array}{lllll}{\text{Nano}}&=\mathrm {n} &=0{,}000\,000\,001&=1\cdot 10^{-9}&{\text{Beispiel: Nanogramm}}\\{\text{Micro}}&=\mu &=0{,}000\,001&=1\cdot 10^{-6}&{\text{Beispiel: Microsekunde}}\\{\text{Milli}}&=\mathrm {m} &=0{,}001&=1\cdot 10^{-3}&{\text{Beispiel: Millimeter}}\\{\text{Zenti}}&=\mathrm {c} &=0{,}01&=1\cdot 10^{-2}&{\text{Beispiel: Zentimeter}}\\{\text{Hekto}}&=\mathrm {h} &=100&=1\cdot 10^{2}&{\text{Beispiel: Hektopascal (Luftdruck)}}\\{\text{Kilo}}&=\mathrm {k} &=1\,000&=1\cdot 10^{3}&{\text{Beispiel: Kilogramm}}\\{\text{Mega}}&=\mathrm {M} &=1\,000\,000&=1\cdot 10^{6}&{\text{Beispiel: Megawatt}}\\{\text{Giga}}&=\mathrm {G} &=1\,000\,000\,000&=1\cdot 10^{9}&{\text{Beispiel: Gigabyte}}\\\end{array}}$

Beispiel

Messung der Hubleistung, die von mehreren Personen beim Besteigen einer 11,7 m hohen Treppe geleistet wird.

Person	$m$	$F_{G}$	$W$	$t$	$P$
$P_{1}$	$62\,\mathrm {kg}$	$608\,\mathrm {N}$	$7{,}1\,\mathrm {kJ}$	$19{,}15\,\mathrm {s}$	$372\,\mathrm {W}$
$P_{2}$	$60\,\mathrm {kg}$	$589\,\mathrm {N}$	$6{,}9\,\mathrm {kJ}$	$18{,}5\,\mathrm {s}$	$372\,\mathrm {W}$
$P_{3}$	$50\,\mathrm {kg}$	$491\,\mathrm {N}$	$5{,}7\,\mathrm {kJ}$	$16{,}3\,\mathrm {s}$	$352\,\mathrm {W}$
$P_{4}$	$52\,\mathrm {kg}$	$511\,\mathrm {N}$	$6{,}0\,\mathrm {kJ}$	$15{,}15\,\mathrm {s}$	$394\,\mathrm {W}$
$P_{5}$	$105\,\mathrm {kg}$	$1030\,\mathrm {N}$	$12\,\mathrm {kJ}$	$15{,}05\,\mathrm {s}$	$801\,\mathrm {W}$

Energie allgemein

Fällt ein Körper aus einer bestimmten Höhe herunter, so kann er einen am Boden stehenden Körper verformen.

• 
  Körper fällt auf ein Auto

Damit hat der fallende Körper M hat an dem ruhenden Körper (Auto) Arbeit (Zerstörung) verrichtet.

Definition Energie

Energie E ist die Fähigkeit eines Körpers Arbeit zu verrichten. Die Einheit ist Joule: $[E]=J$

Es gibt verschiedene Arten von Energie:

Potentielle Energie

Wie im obigen Beispiel hat jeder Körper aufgrund seiner Lage eine Energie: Die Lageenergie bzw. potentielle Energie $E_{pot}$.

Um die Ausgangslage wiederherzustellen, muss der Körper wieder angehoben werden. An ihm muss die Arbeit $W=F_{G}\cdot h$ verrichtet werden. Deshalb setzt man die Lageenergie $E_{pot}=W=F_{G}\cdot h$.

Die Lageenergie $E_{pot}$ eines Körpers mit der Gewichtskraft $F_{G}$ und der Höhe $h$ ist: $E_{pot}=W=F_{G}\cdot h=m\cdot g\cdot h$

Kinetische Energie

Die kinetische Energie $E_{kin}$ oder auch Bewegungsenergie ist die Energie, die in der Bewegung eines Körpers enthalten ist. Diese Energie muss aufgewendet werden, um den Körper aus dem Ruhezustand auf die Geschwindigkeit $v$ zu beschleunigen.

Formel: $E_{kin}={1 \over 2}m\cdot v^{2}$

Spannenergie einer Feder

Die Spannenergie einer Feder $E_{sp}$ ist die Energie, die aufgewendet werden muss, um eine Feder mit der Härte $D$ um die Strecke $s$ zurückzudrücken.

Formel: $E_{sp}={1 \over 2}D\cdot s^{2}$

Energieerhaltungsgesetz

Betrachte folgenden Versuch:

• 
  Ein Tennisball, der fallen gelassen wurde

Die potentielle Energie des Tennisballes wird zwar bis zum Boden abgegeben, er erhält sie aber wieder zurück, da er, vernachlässigt man die Reibung, wieder zur Ausgangshöhe zurückkehrt. Die verschiedenen Formen der Energie können also ohne Verluste ineinander übergeführt werden:

$E_{ab}=E_{zu}$