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Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader

Diagonalendreieck im Quader

Gegeben sei ein Quader mit den Seitenlängen   $x,y,z>0$   .

In diesem Quader werden die Diagonalen von drei an einer gewissen Ecke — etwa   $D$   — zusammenstoßenden Seitenrechtecken in einem zusammenhängenden Streckenzug so verbunden, dass die davon umfassten Punkte ein Dreieck   $\triangle =\triangle {ABC}$   bilden, das ganz in dem Quader enthalten ist, dessen Ecken   $A,B,C$   zugleich Ecken des Quaders sind und welches der Ecke   $D$   derart gegenüberliegt, dass die so entstehende geometrische Figur   ${ABCD}$   eine Pyramide darstellt.

Dieses Dreieck   $\triangle$   soll im Folgenden kurz als Diagonalendreieck bezeichnet werden.

Es ist nun die Aufgabe, eine Formel für den Flächeninhalt   $F_{\triangle }$   dieses Diagonalendreiecks   $\triangle$   in Anhängigkeit von den Seitenlängen $x,y,z$ zu bestimmen.

Diese Formel lässt sich bestimmen unter Benutzung der Formel des Heron und aufgrund der Tatsache, dass die Seitenlängen von   $\triangle$   nach dem Satz des Pythagoras offenbar wie folgt von den Seitenlängen $x,y,z$ abhängen:

$a={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$b={\sqrt {x^{2}+z^{2}}}$

$c={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}$

Also hat man zusammen mit der Identität

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

zunächst

${\begin{aligned}16{F_{\triangle }}^{2}&=16s(s-a)(s-b)(s-c)\\&=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\\&=((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})\\&=a^{2}((b-c)^{2}+(b+c)^{2})-a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}\\&=2a^{2}(b^{2}+c^{2})-a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}\\\end{aligned}}$   .

Durch Einsetzen ergibt sich dann

${\begin{aligned}16{F_{\triangle }}^{2}&=2(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}+2z^{2})-(x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})^{2}\\&=2(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}+2z^{2})-(2x^{4}+2y^{4})\\\end{aligned}}$

und weiter

${\begin{aligned}8{F_{\triangle }}^{2}&=(x^{2}+y^{2})((x^{2}+y^{2})+2z^{2})-x^{4}-y^{4}\\&=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}+2z^{2}(x^{2}+y^{2})-x^{4}-y^{4}\\&=2x^{2}y^{2}+2x^{2}z^{2}+2y^{2}z^{2}\\\end{aligned}}$   .

Also folgt schließlich

${\begin{aligned}F_{\triangle }&={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}}}\\&={\frac {xyz}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{y^{2}}}+{\frac {1}{z^{2}}}}}\end{aligned}}$   .

q.e.d

Dieser Beweis lässt sich mit Hilfe der obigen Skizze Diagonalendreieck im Quader gut nachvollziehen.

Hat der gegebene Quader z. B. eine quadratische Grundfläche mit einer Kantenlänge $1$ und eine Höhe mit der Länge $2$, ergibt sich das Diagonalendreieck als gleichschenkliges Dreieck $\triangle =\triangle {ABC}$ mit $a={\sqrt {2}},\;b={\sqrt {5}}$ und $c={\sqrt {5}}$.

I

Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks $F_{1}{\triangle }$ in Flächeneinheiten [FE] auf die herkömmliche Weise:

zunächst ist die Höhe nach dem Satz des Pythagoras zu bestimmen

$h={\sqrt {{\sqrt {5}}\;^{2}-\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}}}$

durch Umformen ergibt sich

$h={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {18}}$

nach dem Einsetzen der Werte für $a$ und $h$ in die allgemeine Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ist

${\begin{aligned}F_{1}{\triangle }&={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {18}}\\&={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {18}}\\&=1{,}5\;[FE]\end{aligned}}$   .

II

Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks $F_{2}{\triangle }$ in Flächeneinheiten [FE] nach der oben bestimmten allgemeinen Formel:

${\begin{aligned}F_{2}{\triangle }&={\frac {xyz}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{y^{2}}}+{\frac {1}{z^{2}}}}}\end{aligned}}$

nach dem Einsetzen der Werte für $x=1$, $y=1$ und $z=2$ ergibt sich

${\begin{aligned}F_{2}{\triangle }&={\frac {2}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}}}={\sqrt {2+{\frac {1}{4}}}}={\sqrt {\frac {9}{4}}}\\&=1{,}5\;[FE]\end{aligned}}$

III

Der Vergleich der beiden Ergebnisse zeigt:

$F_{1}{\triangle }=F_{2}{\triangle }$.