Vektorraum: Summen und innere direkte Summen von mehr als zwei Unterräumen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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NotationBearbeiten

In diesem Artikel sei   ein Körper und   ein  -Vektorraum.

Wir bezeichnen Unterräume von   oft mit   und  .

Summen von mehr als zwei UnterräumenBearbeiten

MotivationBearbeiten

Wir haben definiert, was die Summe von zwei Vektorräumen ist. Nun kann man sich fragen, wie und ob man das Konzept der Summe von Vektorräumen auf mehrere oder gar (abzählbar oder überabzählbar) unendlich viele Summanden verallgemeinern kann. Wir haben bereits bewiesen, dass die Summe von Vektorräumen assoziativ und kommutativ ist, genauso wie die Addition von (beispielweise rationalen) Zahlen. Dies erlaubt uns die Schreibweise für Summen über mehr als zwei Summanden einzuführen und ihr einen eindeutigen Wert zuzuweisen. Zum Beispiel gilt

 

Dabei spielt es keine Rolle, ob wir zum Beispiel   oder   berechnen. Mit der selben Begründung könnten wir die Summe von endlichen vielen Vektorräumen definieren.

To-Do:

Hier etwas ausführlicher

Aber was ist mit der Summe von unendlich vielen Vektorräumen? Der selbe Ansatz macht bei unendlich vielen Vektorräumen keinen Sinn, ähnlich wie man nicht einfach unendlich viele ganze Zahlen aufsummieren kann und ein sinnvolles Ergebnis erwartet.

In der Definition der Summe von zwei Vektorräumen   und   kommen Vektorräume   vor, die sowohl   als auch   enthalten. An dieser Stelle können wir die Definition verallgemeinern. Wir können nämlich einfach fordern, dass   unendlich viele vorgegebene Vektorräume enthält. Wir haben also folgende Definition:

DefinitionBearbeiten

  • Wir hatten zwei Definitionen von Summen
  • die mit dem Schnitt kann man tatsächlich leicht verallgemeinern
  • nochmal Herleitung der Schnittdefinition wiederholen auf den allgemeinen Fall angepasst

Definition (Summe von unendlich vielen Vektorräumen)

Sei   eine Indexmenge und sei für jedes   ein Untervektorraum   von   gegeben. Die Summe   ist definiert als der Schnitt aller Unterräume   mit   für alle  . In Formeln bedeutet dies:

 

Hinweis

Wie bei der Summe von zwei Vektorräumen ist klar, dass   eine Teilemenge von   und sogar ein Untervektorraum ist.

Hinweis

Wir sehen, dass sich im Fall   die Definition der Summe von zwei Vektorräumen ergibt. Weiter stimmt die Definition für endliche Indexmengen   (also  ) mit der Definition der Summe von   Untervektorräumen überein.

Hinweis

Im Falle   wird der Schnitt über alle Untervektorräume von   genommen. Insbesondere also auch über den Nullraum. Daher gilt  , in Analogie zur leeren Summe über (rationalen) Zahlen.

Äquivalente CharakterisierungenBearbeiten

  • wir hatten eine explizitere Definiton für die Summe von zwei Vektorräumen
  • da haben wir einfach alles dazugetan, was noch gefehlt hat
  • was heißt das im allgemeinen Fall?

Satz (Äquivalente Charakterisierung der Summe von beliebig vielen Untervektorräumen)

Sei   eine Indexmenge und sei für jedes   ein Untervektorraum   von   gegeben. Dann gilt:

 
To-Do:

Beweis

Man kann das obige auch ein wenig anders aufschreiben:

Satz (Äquivalente Charakterisierung der Summe von beliebig vielen Untervektorräumen (II))

Sei   eine Indexmenge und sei für jedes   ein Untervektorraum   von   gegeben. Dann gilt:

 
To-Do:

Beweis

Beispiele und AufgabenBearbeiten

To-Do:
  • Beispiel: K^n direkte Summe der Einheitsvektoren
  • irgendein beispiel wo tatsächlich alle unendlich vielen summanden benötigt werden (z.B. Folgenraum, Einheitsvektoren -> Folgen mit endlichen Träger)
  • Aufgaben

Direkte Summen von mehr als zwei UnterräumenBearbeiten

MotivationBearbeiten

  • wie bei zwei Summanden: wir wollen Eindeutigkeit
  • was heißt das in diesem Fall?

DefinitionBearbeiten

Definition (Innere direkte Summe)

Seien   ein  -Vektorraum und   eine durch eine beliebige Indexmenge   indizierte Familie von Untervektorräumen von  . Man sagt, dass   die innere direkte Summe der   ist und schreibt

 

falls sich jeder Vektor aus   in eindeutiger Weise als Summe endlich vieler Vektoren, die in paarweise verschiedenen der   liegen, darstellen lässt, d.h.

  1. Für jeden Vektor   existiert eine endliche Teilmenge   und für jedes   ein Vektor  , sodass
     
  2. Für jede endliche Teilmenge   und je zwei Darstellungen
     

    mit   für alle   gilt bereits   für alle  .

Hinweis

Der Punkt 1. der obigen Definition besagt definitionsgemäß, dass   die Summe der   ist. Dafür schreibt man auch  Der Punkt 2. der obigen Definition lässt sich mit folgendem formalen Trick auch auf zwei Darstellungen eines Vektors aus   anwenden, in denen über unterschiedliche endliche Indexmengen   summiert wird. Durch Hinzufügen von zusätzlichen Nullvektoren als Summanden kann man nämlich zu der gemeinsamen endlichen Indexmenge   übergehen.

To-Do:

Den Hinweis in die Definition packen/die Definition anders machen/etc.

To-Do:

Für   ist das das selbe

Äquivalente CharakterisierungBearbeiten

To-Do:

Verallgemeinerte Schnittbedingung: Summe direkt   für jedes   gilt:  .

To-Do:

Satz: Summe direkt   für alle endlichen   gilt  .

To-Do:

Vereinfachte verallgemeinerte Schnittbedingung, wenn   endlich: Summe direkt   für jedes   gilt:  .

Beispiele und AufgabenBearbeiten

To-Do:

Beispiele/Aufgaben