Vektorraum: Innere direkte Summe und Komplement – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

NotationBearbeiten

In diesem Artikel sei   ein Körper und   ein  -Vektorraum.

Wir bezeichnen Unterräume von   oft mit   und  .

Direkte Summe von UntervektorräumenBearbeiten

MotivationBearbeiten

  • Wir haben bereits gesehen, dass die Darstellung von Vektoren in der Summe   eindeutig ist, und manchmal nicht.
  • Diese Eindeutigkeit ist uns wichtig, da wir somit Resultate wieder zerlegen können, welche anderenfalls verloren gehen würden.
  • Eigentlich ist die Motivation auch eher, maximale direkte Summen zu finden, d.h. Komplemente.
  • Sehr viele Sachen, die motivierend hierfür sein könnten, brauchen aber lineare Abbildungen (z.B. die Zerlegung   bei idempotenten Endomorphismen, lineare Abbildungen auf einer direkten Summe werden durch die Komponenten bestimmt, etc.).

Definition der direkten SummeBearbeiten

Definition (Direkte Summe)

Sei   ein  -Vektorraum und   zwei Unterräume.

Wir sagen, dass die Summe   direkt ist, falls sich jedes   auf eindeutige Weise als   mit   schreiben lässt.

Wir schreiben dann statt   auch  .

Hinweis

"Auf eindeutige Weise" bedeutet hierbei: Wenn   mit   und  , dann gilt bereits   und  .

Hinweis

Per Definition ist eine direkte Summe also auch eine Summe. Damit hat sie alle Eigenschaften der Summe.

Äquivalente CharakterisierungenBearbeiten

To-Do:

Motivation

Satz (Äquivalente Charakterisierungen der direkten Summe)

Seien   Unterräume von  . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Die Summe von   und   ist direkt
    (d.h.  ).
  2. Die Darstellung aller Elemente von   ist eindeutig
    (d.h. wenn   mit   und  , dann gilt bereits   und  ).
  3. Die Darstellung der Null ist eindeutig
    (d.h. wenn   mit   und  , dann gilt bereits  ).
  4.   und   haben trivialen Schnitt
    (d.h.   ist der triviale Untervektorraum).

Beweis (Äquivalente Charakterisierungen der direkten Summe)

Wir sehen sofort aus der Definition, dass  . Wir zeigen nun die Implikationen  . Dann folgt die Behauptung durch Ringschluss!

Beweisschritt:  

Sei   und   mit  . Dies ist eine Darstellung von  .

Andererseits ist   auch eine Darstellung von  .

Da Darstellungen nach Voraussetzung eindeutig sind, folgt   und  .

Beweisschritt:  

Sei  . Dann ist   und  . Also ist   eine Darstellung der  . Mit der Voraussetzung folgt  . Also ist der Schnitt trivial.

Beweisschritt:  

Sei  . Wir müssen zeigen, dass   sich auf eindeutige Weise als Summe von Elementen von   und   schreiben lässt.

Seien dazu   und   mit der Eigenschaft, dass  . Wir haben also zwei Darstellungen von   und müssen zeigen, dass sie gleich sind. "Gleich" bedeutet dabei, dass   und  .

Es gilt  . Dieses Element liegt in   (wegen der Darstellung links von " ") und in   (wegen der Darstellung rechts von " "). Also liegt es im Schnitt  . Nach Voraussetzung ist  . Damit folgt  . Also gilt   und  . Das ist genau, was wir zeigen wollten.

Beispiele und AufgabenBearbeiten

Aufgabe (Beispiele von direkten und nicht-direkten Summen)

Sei  . Betrachte die Unterräume  ,   und  .

Zeige, dass die Summen  ,   und   direkt sind, nicht aber die Summe  .

Lösung (Beispiele von direkten und nicht-direkten Summen)

Wir nutzen die alternative Charaktersierung. Es genügt also zu zeigen, dass  ,   und   gilt, aber nicht  .

Beweisschritt:  

Sei also  . Also ist  , da   und  , da  . Das bedeutet:  .

Damit haben wir gezeigt, dass  , und deshalb auch  .

Beweisschritt:  

Sei also  . Also ist  , da   und  , da  . Das bedeutet:  .

Damit haben wir gezeigt, dass  , und deshalb auch  .

Beweisschritt:  

Sei also  . Also ist  , da   und  , da  . Das bedeutet:  .

Damit haben wir gezeigt, dass  , und deshalb auch  .

Beweisschritt:  

Wir wissen, dass   und   liegen. Daher ist  .

Andererseits gilt auch  .

Daher ist  . Also ist der Schnitt nicht-trivial und die Summe daher nicht direkt.

Aufgabe (Idempotente Abbildungen)

Sei   eine lineare Abbildung mit  . Zeige:  .

Lösung (Idempotente Abbildungen)

Wir zeigen, dass   und dass  . Nach dem Satz über äquivalente Charakterisierungen der direkten Summe ist   somit direkt.

Beweisschritt:  

Da sowohl der Kern als auch das Bild von   Untervektorräume von   sind, ist für die Inklusion   nichts zu tun. Sei andererseits  . Dann gilt nach Voraussetzung  , oder in anderen Worten  . Wegen der Linearität von   folgt  . Also liegt das Element   im Kern von  . Außerdem liegt das Element   per Definition im Bild von  . Somit ist   die Summe eines Elementes aus   und eines Elementes aus  . Also liegt   in  .

Beweisschritt: Wir zeigen  .

Sei  , d.h.   und es existiert  , sodass  . Somit gilt  , da   idempotent ist. Dies zeigt   wie gewünscht.

Komplemente von Untervektorräumen Bearbeiten

MotivationBearbeiten

  • Wir können die gleiche Herleitung nutzen wie bei Nebenklassen: Wir wollen den UVR   ignorieren. D.h. wir wollen V aufteilen in einen U und einen nicht-U Anteil.

Definition und Existenz von KomplementenBearbeiten

Definition (Komplement eines Untervektorraums)

Sei   ein Unterraum. Ein Unterraum   heißt Komplement von   in  , falls   gilt.

Wir werden zunächst zeigen, dass Komplemente immer existieren:

Satz (Komplemente existieren immer)

Sei   ein Untervektorraum. Dann gibt es einen Unterraum   sodass  , d.h.   ist ein Komplement von   in  .

Beweis (Komplemente existieren immer)

In diesem Beweis werden wir Basen verwenden. Diese werden erst später definiert, sind hier aber unumgänglich. Es treten keine Zirkelschlüsse auf.

To-Do:

Verlinken

Sei   ein Untervektorraum. Wir wählen eine Basis   von  .

Nach dem Basisergänzungssatz
To-Do:

link

können wir   zu einer Basis   von   ergänzen.

Sei dann  . Dies ist per Definition ein Untervektorraum von  .

Es gilt  , da bereits   die Basis   von   enthält.

Es bleibt zu zeigen, dass  . Sei  . Dann hat   Darstellungen als Linearkombination von Vektoren in   einerseits, und von Vektoren in   andererseits. Da aber   eine Basis von   bildet und somit linear unabängig ist, kann nur   gelten.

Warnung

In unserem Setting existieren immer Komplemente. Jedoch kann es dir im weiteren Studium passieren, dass der Begriff "Komplement" etwas anders definiert wird, z.B in der Funktionalanalysis. Dann gibt es Beispiele von Untervektorräumen, die kein Komplement haben.

Nichteindeutigkeit von KomplementenBearbeiten

Komplemente sind im allgemeinen nicht eindeutig:

Beispiel (Komplemente sind nicht eindeutig)

Wir betrachten den  -Vektorraum  . Sei  . Dies ist ein Unterraum von  .

Wir werden jetzt zwei verschiedene Komplemente von   in   finden.

Sei dazu   und  . Dies sind Unterräume von  .

Außerdem sind beides Komplemente von  .

Aufgabe (Beweis des Gegenbeispiels)

Beweise, dass   und   wie im Beispiel oben Komplemente von   in   sind, aber  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Beweis des Gegenbeispiels)

To-Do:

lösungsweg

Lösung (Beweis des Gegenbeispiels)

Beweisschritt:  

Das gilt, denn  , aber  .

Beweisschritt:  

Sei dazu  . Dann können wir schreiben  . Also gilt  . Sei nun  . Nach Definition von   muss   gelten. Nach Definition von   muss   gelten. Also ist  . Insgesamt folgt:   ist ein Komplement von   in  .

Beweisschritt:  

Sei dazu  . Dann können wir schreiben  . Also gilt  . Sei nun  . Nach Definition von   muss   gelten. Nach Definition von   muss   gelten. Also ist  . Insgesamt folgt:   ist ein Komplement von   in  .

To-Do:

Lösungsweg der Aufgabe

Beispiele und AufgabenBearbeiten

Beispiel (Ein Unterrraum ist ein Komplement zu einem Komplement)

Sei   ein  -Vektorraum und   ein Unterraum. Sei   ein Komplement zu   in  . Das bedeutet  .

Dann ist   ein Komplement zu   in  , denn  . Dies gilt, da die (direkte) Summe kommutativ ist.

Beispiel (Triviale Komplemente)

Sei   ein Vektorraum. Es gilt  . Also ist   ein Komplement zu   in  .

Hier ist das Komplement sogar eindeutig: Wenn   ein Komplement zu   in   ist, dann gilt  . Nach der alternativen Charaktersisierung von direkten Summen gilt dann:  . Da aber   gilt, ist  . Also ist  .

To-Do:

Aufgaben!

Alter Content: Intuitive Veranschaulichung der inneren direkten SummeBearbeiten

In der linearen Algebra unterscheidet man das Konzept der inneren direkten Summe von dem dazu verwandten Konzept der äußeren direkten Summe. Um zunächst einen Zugang zur inneren direkten Summe zu erhalten, betrachten wir als erstes anschaulich die Lage zweier Untervektorräume   und   des dreidimensionalen Raums   zueinander, also die Fälle

  sind jeweils Geraden;   und  

  ist eine Gerade   und   ist eine Ebene  

  sind jeweils Ebenen;   und  

Wir wollen nun diese drei Fälle etwas näher untersuchen.

  • Sind   und   zwei Geraden im   (die beide den Ursprung enthalten), dann sind   und   entweder identisch, also  , oder sie schneiden sich im Ursprung, d.h. im Punkt  , und damit ist  .
  • Ist dagegen   eine Gerade und   eine Ebene im   (die beide den Ursprung enthalten), dann liegt   entweder in  , also   oder   und   schneiden sich im Ursprung, und damit ist  .
  • Sind zum Schluss   und   zwei Ebenen im   (die beide den Ursprung enthalten), dann sind   und   entweder identisch, also  , oder sie schneiden sich in einer Geraden  .
To-Do:

füge in jedem der Fälle Bilder ein!

  1. ein Bild zwei Geraden im   durch den Nullpunkt und die sich dort schneiden.
  2. ein Bild einer Ebene in der eine Gerade liegt und eine andere Gerade schneidet die Ebene.
  3. eine Bild zwei sich schneidende Ebenen

Stelle dir nun vor, dass die Untervektorräume   und   zufällig im   positioniert werden. Welche der oben beschriebenen Lagen von   und   zueinander treten dann „in der Regel“ (also generisch) auf?

  • Zwei zufällig gewählte Geraden oder zwei zufällig gewählte Ebenen werden in der Regel nicht zusammenfallen.
  • Ebenso wird eine zufällig gewählte Gerade im allgemeinen nicht auf einer zufällig gewählten Ebene liegen.

Folglich ist der Schnitt   im generischen Fall möglichst klein:

  • im Fall zweier Geraden oder einer Gerade und einer Ebene ist   nur ein Punkt (der Ursprung),
  • im Fall zweier Ebenen ist   eine Gerade.

Umgekehrt ist die Summe   im generischen Fall möglichst groß: