Inverse Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Das Ziel des Kapitels ist es

EinführungBearbeiten

To-Do:

NOCH RICHTIG AUSARBEITEN

Da wir eine Multiplikation von Matrizen eingeführt haben, stellt sich natürlich die Frage, ob es zu einer gegebenen Matrix   eine Matrix   gibt, derart, dass   ergibt. (Die Einheitsmatrix spielt, wie wir bei den Rechenregeln zur Multiplikation von Matrizen gesehen haben, die Rolle der 1, da sie bei der Multiplikation mit anderen Matrizen diese nicht verändert.) Und falls es eine solche Matrix   gibt, ist diese dann auch eindeutig?

Die beiden Fragen sind nicht so einfach zu beantworten, da wir für eine allgemeine Antwort noch weitere mathematische Konzepte benötigen, die wir erst später behandeln werden.

Wir wollen zur Einführung nur den Fall von  -Matrizen vom Typ (2,2) genauer untersuchen. Wir fragen uns zunächst, was muss notwendigerweise gelten, damit die Matrix   invertierbar ist.

Sei also   mit  . Damit muss gelten:

 

DefinitionBearbeiten

Definition (Inverse Matrix)

Sei   ein Körper und   eine quadratische  -Matrix über den Körper  . Dann heißt eine Matrix   inverse Matrix von  , falls gilt:

 

Dabei handelt es sich bei   um das Matrixprodukt von   und bei   um die Einheitsmatrix.

Hinweis

Manche Autoren nennen invertierbare Matrizen auch 'regulär'

Hinweis

Man kann die Frage stellen, ob es unterschiede zwischen linksinversen und rechtsinversen gibt. D.h., falls   gilt, gilt dann auch  ?

Die Antwort ist überraschenderweise ja, obwohl die Matrizenmultiplikation im allgemeinen nicht kommutativ ist.

Das sehen wir am besten, in dem wir zeigen, dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Gruppe bildet, die allgemeine lineare Gruppe.

To-Do:

Menge der invertierbaren Matrizen hier definieren?

To-Do:

linksinvers und rechtsinvers ist gleich

Existenz und EindeutigkeitBearbeiten

Hauptartikel: Lösbarkeitskriterien Gleichungssysteme

Es gibt viele Möglichkeiten um herauszufinden, ob eine vorgegbene quadratischen Matrix   invertierbar ist oder nicht. Wir werden jetzt eine Möglichkeit kennenlernen, die wir mit unseren bisherigen Methoden behandeln können. Daraus folgt schließlich auch, dass die inverse Matrix, falls existent, eindeutig ist. Letzteres bedeutet: Falls es zwei Matrizen   gibt mit der Eigenschaft  , dann folgt bereits  .

Wir wollen nun zeigen, dass die Invertierbarkeit von Matrizen gleichbedeutend ist mit der Existenz der Umkehrfunktionen gewisser induzierter Abbildungen. Während wir noch keine Ahnung haben, wann eine Matrix invertierbar ist, so wissen wir jedoch bereits, wann eine Funktion umkehrbar ist. Dies ist nämlich genau dann der Fall, wenn die Funktion bijektiv ist.

Satz (Existenz und Eindeutigkeit)

Sei   eine quadratische  -Matrix über den Körper  . Sei   die von der Matrix   induzierte lineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutige inverse Matrix   genau dann, wenn die Abbildung   bijektiv ist.

Zusammenfassung des Beweises (Existenz und Eindeutigkeit)

Wir müssen zwei Richtungen zeigen. Einmal nehmen wir an, dass die Matrix   eine inverse Matrix besitzt und zeigen dann, dass die von der Matrix induzierte Abbildung   bijektiv ist.

Umgekehrt zeigen wir, falls die induzierte Abbildung bijektiv ist, dass dann die Matrix   invertierbar ist.

Beweis (Existenz und Eindeutigkeit)

 “: Sei   invertierbar. Dann gibt es eine Matrix  , so dass  . Betrachte nun die induzierte Abbildung  . Da der Vektorraum endlich dimensional ist, reicht es zu zeigen, dass L injektiv ist.

Sei also  . Das heißt, dass  . Dann ist aber auch   Daher ist also  , also   injektiv.

To-Do:

Rückrichtung

EigenschaftenBearbeiten

Wir wollen nun die wichtigsten Eigenschaften invertierbarer Matrizen zusammenfassen.

Satz (Inverse vom Matrixprodukt)

Seien   zwei invertierbare Matrizen über dem Körper   mit den Inversen   bzw.  . Dann gilt: Das Matrixprodukt   ist ebenfalls invertierbar und für die inverse Matrix   gilt:

 

Beweis (Inverse vom Matrixprodukt)

Wir haben  . Also ist  

Satz (Menge invertierbarer Matrizen bildet Gruppe)

Sei   ein Körper und definiere die Menge aller invertierbarer Matrizen  . Dann gilt:   ist eine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation.

Beweis (Menge invertierbarer Matrizen bildet Gruppe)

Das Produkt von zwei invertierbaren Matrizen ist wieder invertierbar, siehe dazu den vorhergehenden Satz.

Wir haben bereits gesehen, dass die Multiplikation von Matrizen assoziativ ist.

Die Einheitsmatrix   ist invertierbar, und es gilt   für alle invertierbaren Matrizen  

Daher ist   das neutrale Element von  

Die Existenz von Inversen ist klar: Wenn  , dann ist   invertierbar, also gibt es ein   mit  . Wir müssen nur noch zeigen, dass   auch invertierbar ist. Aber   ist ein inverses zu  , also ist  .

Damit sind alle Gruppenaxiome gezeigt,   bildet also eine Gruppe.

To-Do:

Bedeutung der Gruppe erläutern

Satz (Inverse der Inversen)

Sei   eine Matrix über dem Körper  . Sei   invertierbar mit der inversen Matrix  . Dann ist die inverse Matrix ebenfalls invertierbar und es gilt:

 

In Worten: Die inverse Matrix der inversen Matrix   ist wieder  .

Beweis (Inverse der Inversen)

Es gilt  , wenn wir nun von links mit   multiplizieren erhalten wir  . Damit folgt  

Satz (Inverse der transponierten Matrix)

Sei   eine Matrix über dem Körper  . Sei   invertierbar mit der inversen Matrix  . Dann ist die transponierte Matrix   ebenfalls invertierbar und es gilt:

 

In Worten: Die Inverse der transponierten Matrix ist gleich der transponierten der inversen Matrix.

Beweis (Inverse der transponierten Matrix)

Es gilt  . Wenn wir beide Seiten transponieren erhalten wir   (Erinnerung:  ). Jetzt multipliziern wir von rechts mit  :   und es ergibt sich  

BerechnungBearbeiten

Hauptartikel: Lösung von Gleichungssystemen

Basiswechselmatrizen als Transformation des KoordinatensystemsBearbeiten

  • Motivation für diesen Weg?
  • Wir können BW-Matrizen auch realisieren, indem wir eine lineare Abbildung konstruieren, die die eine Basis auf die andere abbildet (Reihenfolge!?) und dann bezüglich der gleichen Basis (welche?) darstellen.