Intuition hinter Isomorphiesatz und Dimensionsformel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

UnderCon icon.svg

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin / dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

diese Kapitel zu den Faktorräumen oder den linearen Abbildungen oder in den Abstellraum verschieben. Hierher past er nur bedingt

In diesem und in den nächsten Kapitel werden wir uns mit der Struktur linearer Abbildungen weiter beschäftigen. Du wirst lernen, dass das Bild einer linearen Abbildung ein Untervektorraum ist. Außerdem ist das Urbild des Nullvektors auch ein Untervektorraum des Bildbereichs. Zudem werden wir die Urbilder von Vektoren des Bildbereichs als einzelne Objekte betrachten. Diese bilden einen Vektorraum, der strukturell ähnlich zum Bild der linearen Abbildung ist.

Intuitive Eigenschaft linearer AbbildungenBearbeiten

Wir wollen nun ein noch besseres Gefühl für die Struktur von linearen Abbildungen bekommen. Hierzu betrachten wir allgemein eine lineare Abbildung   mit dem  -Vektorraum   als Startbereich und dem  -Vektorraum   als Zielbereich. Angenommen, der Vektor   wird durch unsere Abbildung   auf den Vektor   abgebildet. Es ist also  . Dann können wir uns fragen, ob auch andere Vektoren auf   abgebildet werden. Gibt es also andere Vektoren   mit  ? Und wenn ja, wie finden wir diese?

Wir illustrieren unsere folgenden Überlegungen am Beispiel einer linearen Abbildung  , das heißt  . Dieses Beispiel zieht sich durch das ganze Kapitel hindurch. Wir werden uns immer wieder darauf beziehen.

Seien nun   zwei unterschiedliche Vektoren, d.h.   und  :

Im folgenden Bild wird dargestellt, wie die beiden Vektoren   unter der Abbildung   auf einen Vektor   abgebildet werden können.

Zunächst können wir feststellen, dass   nicht injektiv ist. Bei injektiven Abbildungen werden ja verschiedene Argumente auf verschiedene Funktionswerte abgebildet, was bei   nicht der Fall ist.

Der Kern einer linearen AbbildungBearbeiten

Als weitere einfache Überlegung bestimmen wir die Menge aller Vektoren aus dem Vektorraum  , die auf das Nullelement des Vektorraums   abgebildet werden. Diese Menge nennt man den Kern einer Abbildung. Sie ist für den Isomorphiesatz und die Dimensionsformel besonders wichtig.

Die Menge aller Vektoren des Startvektorraums, die auf Null im Zielvektorraum abgebildet werdenBearbeiten

Seien   wie oben. Wir setzen  . Im Weiteren wird es klar werden, warum wir den Vektor   so gewählt haben. Damit können wir   schreiben als  .

  und   werden mit Hilfe von   augrund der Eigenschaft von   beide auf   abgebildet. Damit ist  . Das bedeutet aber, dass   sein muss. Damit haben wir   so bestimmt, dass dieser Vektor unter der linearen Abbildung   immer auf   abgebildet wird.

Wir verallgemeinern dieses Prinzip nun für beliebige Vektoren  .

Ist für einen Vektor   ein Vektor   gegeben mit  , so ist  . Da   linear ist, gilt

 

Wir haben also für zwei beliebige Vektoren   und   aus   gezeigt:

 

Wir können uns nun fragen, ob auch die umgekehrte Richtung gilt. Also, ob zu jedem Vektor   mit   gilt  .

Sei dazu   und   ein beliebiger Vektor aus  , mit  . Dann gilt:

 

Damit haben wir gezeigt, dass ein Vektor   genau dann von   auf   abgebildet wird, wenn   für einen beliebigen Vektor   auf den gleichen Vektor in   abgebildet wird wie  . Anders gesagt: Es gilt genau dann  , wenn   ist.

ZusammenfassungBearbeiten

In diesem Abschnitt haben wir für Vektoren   folgende Aussage gezeigt:

 

Die Menge aller Vektoren des Startvektorraums, die mit Hilfe einer linearen Abbildung auf einen einzigen Vektor im Zielvektorraum abgebildet werdenBearbeiten

Wir werden nun die Menge aller Vektoren aus   bestimmen, die mit der Abbildung   auf den Vektor   abgebildet werden. Wegen obiger Äquivalenz

 

reicht es, alle Vektoren   aus   zu finden, die von   auf   abgebildet werden. Die gesuchten Vektoren sind dann  , denn  .

Diese Vektoren bilden die Menge  .

Dies gilt, weil wir jeden Vektor   mit   schreiben können als   falls wir den Vektor   wählen. Wir suchen die Menge aller Vektoren in  , die von   auf   abgebildet werden, also die Menge  . Schreiben wir nun   statt  , so ist das die Menge  . Aus dem vorherigen Abschnitt wissen wir, dass ein Vektor   von   genau dann auf   abgebildet wird, wenn für einen Vektor   gilt, dass  . Folglich ist

 

Der Kern einer linearen AbbildungBearbeiten

Es ist also nützlich, die Menge der   zu kennen, für die   gilt. Da diese Menge sehr wichtig ist, bekommt sie einen eigenen Namen. Sie heißt Kern von   und wird abgekürzt geschrieben als  . Formal können wir definieren:

Definition (Kern einer linearen Abbildung)

Seien   und   zwei  -Vektorräume und   linear. Dann nennen wir   den Kern von  .

Warum ist es wichtig, sich mit dem Kern zu beschäftigen?Bearbeiten

Die linearen Abbildungen werden auch "strukturerhaltende Abbildungen" zwischen Vektorräumen genannt. Durch sie kann man Vektorräume miteinander in Beziehung setzen und ihre strukturellen Eigenschaften vergleichen. Dabei interessieren uns zum Beispiel die Unterstrukturen, die durch eine lineare Abbildung sichtbar werden. Beispiele dafür sind der Kern und das Bild der linearen Abbildung, welche Untervektorräume des Start- bzw. Zielvektorraums sind. Später werden wir den Kern und das Bild noch mit den Dimensionen des Start- und Zielvektorraums in Beziehung setzen und durch lineare Abbildungen neue Informationen über diese Dimensionen gewinnen.

Analog zum Kern eines Vektorraumhomomorphismus wird auch bei anderen algebraischen Strukturen der Kern von strukturerhaltenden Abbildungen untersucht. Der Begriff "Kern" wird dir daher später noch an anderen Stellen in der Mathematik mit einer sehr ähnlichen Bedeutung wieder begegnen.

Daneben macht der Kern eine Aussage über die lineare Abbildung selbst. An ihm kann man zum Beispiel erkennen, ob eine Abbildung injektiv, also ein Momomorphismus, ist.

Welche Elemente des Startvektorraums liegen im Kern einer linearen Abbildung ?Bearbeiten

Wir kennen bereits aus dem Beispiel ein Element aus dem Kern von  , denn   (vgl. auch untenstehende Abbildung). Außerdem wissen wir, dass bei linearen Abbildungen   immer   zugeordnet wird. Also ist   im Kern von jeder linearen Abbildung. Doch wie finden wir nun weitere Elemente?

Der Kern einer linearen Abbildung ist ein UntervektorraumBearbeiten

Angenommen   und   sind im Kern von  . Dann können wir   berechnen. Wegen der Linearität von   ist:

 .

Damit haben wir gezeigt, dass  .

Demnach ist auch   im Kern von  . Also ist auch  . Daraus folgt wiederum, dass   im Kern von   ist. Wir können dieses Verfahren so fortführen und erhalten, dass für alle natürlichen Zahlen   und einen Vektor   auch   im Kern von   ist.

Damit können wir vermuten, dass für alle   und alle   gilt:

 

Wegen der Linearität von   gilt tatsächlich

 

Also ist auch  .

Wir haben festgestellt, dass für alle   gilt:  . Außerdem ist für alle   und alle   auch  . Folglich ist   ein Untervektorraum von  .

Dies wollen wir nun in einem Satz festhalten und allgemein beweisen:

Satz

Es sei   eine lineare Abbildung zwischen den  -Vektorräumen   und  . Dann ist   ein Untervektorraum von  .

Beweis

Um die Behauptung zu überprüfen, müssen wir vier Dinge zeigen:

  1.  
  2.  
  3. Für alle   gilt  .
  4. Für alle   und für alle   gilt  .

Beweisschritt:  

Die erste Behauptung folgt direkt aus der Definition.

Beweisschritt:  

Da   linear ist, wissen wir, dass für alle   und alle   gilt:  . Insbesondere gilt dann auch

 

Also ist   und damit ist der Kern von   nicht leer.

Beweisschritt:   gilt  .

Nun zeigen wir den dritten Punkt. Es gilt für alle  , dass

 

Damit ist auch   im Kern von  .

Beweisschritt:   und   gilt  .

Der vierte Schritt funktioniert analog zum dritten Schritt. Für alle   und alle   gilt

 

Das heißt, dass  .

Bestimmung des Kerns in unserem obigen BeispielBearbeiten

Wir wissen bereits, dass die Vektoren   und   im Kern von   enthalten sind. Außerdem ist der Kern ein Untervektorraum. Also sind unter anderem auch die Vektoren  ,   und   im Kern von  . Allgemein sind alle Vielfachen von   im Kern von  . Es ergibt sich eine Gerade durch   und  . Alle Punkte auf dieser Geraden sind im Kern von  , das heißt, sie werden von   auf   abgebildet. Dass diese Punkte eine Gerade bilden, stimmt mit unserer Feststellung überein, dass der Kern ein Untervektorraum ist, denn eine Gerade durch den Nullpunkt von   bildet einen eindimensionalen Unterraum von  .

Der Zusammenhang zwischen der Injektivität und dem Kern einer linearen AbbildungBearbeiten

Betrachten wir nun eine lineare Abbildung  , wobei   und   zwei  -Vektorräume sind. Angenommen, wir wissen, dass der Kern von   mehr als ein Element besitzt.

Frage: Können wir eine Aussage darüber treffen, ob die Abbildung   injektiv ist?

Ja. Wenn der Kern von   mehr als ein Element besitzt, dann gibt es zwei verschiedene Elemente   und   von  , so dass   sind. Per Definition des Kerns ist dann   und folglich ist   nicht injektiv, da zwei verschiedene Argumente auf denselben Funktionswert abgebildet werden.

Nun wissen wir bereits, dass der Kern von   mindestens das neutrale Element   des Startvektorraums besitzen muss. Der Kern muss also mindestens ein Element (nämlich  ) besitzen. Gerade haben wir gezeigt, dass jede lineare Abbildung mit mehr als einem Element im Kern nicht injektiv ist. Gleich werden wir auch die Umkehrung zeigen, also: Wenn der Kern nur ein Element besitzt, muss die Abbildung injektiv sein. Das fassen wir zusammen im folgenden Satz:

Satz (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Seien   und   zwei  -Vektorräume und sei   linear. Dann gilt:

  ist genau dann injektiv, wenn   ist.

Insbesondere ist   genau dann injektiv, wenn  .

Zusammenfassung des Beweises (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Für den Satz müssen wir zwei Richtungen zeigen:

  • Wenn   injektiv ist, dann ist  .
  • Aus   folgt, dass   injektiv ist.

Die erste Richtung kann mit einem direkten Beweis gezeigt werden. Für die andere Richtung müssen wir zeigen, dass für beliebige   und   mit   folgt  , wenn  . Wenn wir nun wissen, dass für   schon   gilt, was gilt dann für  ? Und was bedeutet das für  ?

Für den Zusatz müssen wir uns überlegen, wann ein Vektorraum die Dimension Null hat.

Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Beweisschritt: Wenn   injektiv ist, dann ist  .

Nehmen wir zunächst an, dass   injektiv ist. Wir wissen bereits, dass   ist. Da   injektiv ist, kann kein anderer Vektor auf   abgebildet werden (bei injektiven Funktionen wird maximal ein Argument auf einen Funktionswert abgebildet). Damit ist  , denn der Kern ist ja definiert als die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Beweisschritt: Aus   folgt, dass   injektiv ist.

Sei  . Um zu zeigen, dass   injektiv ist, betrachten wir zwei beliebige Vektoren   mit  . Dann ist

 

Also ist  . Da wir angenommen haben, dass  , ist   und damit  . Folglich gilt   für alle  . Dies ist genau die Definition dafür, dass   injektiv ist.

Beweisschritt:   ist genau dann injektiv, wenn   ist.

Wir haben schon gezeigt, dass   genau dann injektiv ist, wenn   ist. Es bleibt zu zeigen, dass dies äquivalent dazu ist, dass   . Der Kern von   ist ein Untervektorraum von  . Ein Untervektorraum von   ist genau dann gleich  , wenn seine Dimension Null beträgt. Also ist   genau dann injektiv, wenn  .

Alternativer Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Man kann diesen Satz auch mit nur einer Kette von äquivalenten Aussagen zeigen:

 

Das Urbild eines VektorsBearbeiten

Wir können nun sehr leicht die Vektoren bestimmen, die auf   abgebildet werden. Wir wissen, dass dies die Menge   ist.

Da zum Beispiel   und   im Kern von   sind, werden auch die Vektoren   und   auf   abgebildet.

Die Vektoren aus  , die auf   abgebildet werden, bilden also wie   eine Gerade. Diese besteht aus den Punkten aus  , die man als   mit dem Vektor   aus   schreiben kann. Also die Menge  .

Frage: Gibt es für jeden Vektor   aus   eine Gerade, die durch   geht und alle Vektoren auf dieser Gerade werden von   auf   abgebildet?

Ja, es gibt zu jedem Vektor   eine solche Gerade. Denn für alle   mit  , also  , ist  . Die   liegen auf einer Geraden. Das ist die Gerade, die aus der Gerade aller   durch Verschiebung um   hervorgeht.

Für ein beliebiges   ist   die Menge aller Vektoren von  , die auf   abgebildet werden. Das ist in unserem Fall eine Gerade, die aus einer Verschiebung der Geraden   um   hervorgeht. Diese Menge ist eine Nebenklasse von   und wir schreiben dafür

 

Wir wissen bereits, dass der Kern von   ein Untervektorraum ist.

Frage: Ist für jeden Vektor   die Menge   auch ein Untervektorraum von  ?

Das hängt davon ab, ob es einen Vektor   gibt, der nicht im Kern von   ist.

Fall 1: Es gibt ein   mit  .

Damit eine Teilmenge von   ein Untervektorraum sein kann, muss   in dieser enthalten sein. Wir behaupten, dass   nicht in   enthalten ist. Das zeigen wir durch Kontraposition.

Angenommen, es gilt  . Dann gibt es ein   mit  . Daraus folgt, dass  . Da der Kern von   ein Untervektorraum von   ist, muss dann auch   im Kern von   enthalten sein, was ein Widerspruch ist.

Damit haben wir gezeigt, dass   kein Untervektorraum ist.

Fall 2: Für alle Vektoren   gilt  , also  .

Für alle   ist dann  . Der Kern von   ist ein Untervektorraum von  . Somit ist für alle   in diesem Fall   ein Untervektorraum.

Welche Vektoren werden auf   abgebildet? Da wir nun schon einige Vektoren kennen, die auf   abgebildet werden, und wissen, dass   linear ist, können wir das leicht herausfinden. Für alle   mit   ist  . Zum Beispiel werden die Vektoren   und   auf   abgebildet. Das Urbild des Vektors ist hier die Nebenklasse  , eine Gerade, die aus   durch Verschiebung um   hervorgeht.

Hinweis

Für affine Unterräume verweisen wir auf das spätere Kapitel Affine Räume im Buch Lineare Algebra 1

Das Bild einer linearen AbbildungBearbeiten

Wir haben gesehen, die Vektoren aus  , die jeweils auf einen bestimmten Vektor in   abgebildet werden, liegen alle auf einer Geraden. Jedoch sind auch   und   Teil einer Geraden. Da diese Gerade durch   geht, können wir vermuten, dass auch das Bild von   eine Vektorraumstruktur aufweist.

Frage: Ist das Bild von   ein Untervektorraum von  ?

Ja. Für alle linearen Abbildungen   ist   im Bild von  , denn   wird von der linearen Abbildung auf   abgebildet.

Sind   und   im Bild von  , so gibt es Vektoren   und   aus   mit   und  . Aufgrund der Linearität von   gilt dann  . Also wird   auf   abgebildet und somit ist auch   im Bild von  .

Außerdem ist für alle   und alle   mit   auch   im Bild von  . Denn es gilt  .

Damit haben wir überprüft, dass das Bild von   ein Vektorraum ist.

In unserem Beispiel gilt für alle Vielfachen   mit  , dass  . Somit gibt es auch für alle skalaren Vielfachen von   ein Element in   mit  . Das Bild von   ist daher die Gerade, die durch   und   geht.

Wie wir gesehen haben, ist auch das Bild einer linearen Abbildung eine wichtige Struktur, bei der es sich lohnt, diese genauer zu untersuchen. Deshalb führen wir auch für das Bild der linearen Abbildung   eine neue Schreibweise ein:  . Die Notation kommt vom englischen Wort "image".

Die formale Definition des Bildes einer linearen Abbildung lautet:

Definition (Bild einer linearen Abbildung)

Es seien   und   zwei  -Vektorräume und   linear. Dann nennen wir   das Bild von  .

Wir zeigen nun den formalen Satz, dass das Bild   ein Unterraum von   ist.

Satz

Es sei   eine lineare Abbildung zwischen den  -Vektorräumen   und  . Dann ist   ein Untervektorraum von  .

Beweis

Um die Behauptung zu überprüfen, müssen wir vier Dinge zeigen:

  1.  
  2.  
  3. Für alle   gilt  .
  4. Für alle   und für alle   gilt  .

Beweisschritt:  

Die erste Behauptung folgt direkt aus der Definition.

Beweisschritt:  

Da L eine lineare Abbildung ist, gilt  . Somit ist   folglich ist  .

Beweisschritt: Für alle   gilt  .

Hierzu seien   gegeben. Dann gibt es Vektoren   und   aus   mit   und  . Um zu zeigen, dass   gilt, müssen wir einen Vektor aus   finden, der von   auf   abgebildet wird. Es gilt:

 

Wegen   und   ist   im Bild von  .

Beweisschritt: Für alle   und für alle   gilt  .

Sei   und  . Dann gibt es einen Vektor   mit  . Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor in   gibt, der auf   abgebildet wird. Es gilt:

 

Weil   ist, gilt  .

Intuition hinter dem IsomorphiesatzBearbeiten

Bisher haben wir immer die Vektoren als einzelne Objekte betrachtet, aber was passiert, wenn wir nun nur zwischen verschiedenen Geraden unterscheiden?

Wir betrachten nun nur verschiedene Geraden und nicht mehr ihre einzelnen Elemente. Zwei Geraden sind gleich, wenn ihre Elemente auf den gleichen Vektor abgebildet werden. Bzw. zwei Geraden sind verschieden, wenn ihre Vektoren unterschiedliche Bilder haben.

Wir sehen die Geraden nun als Mengen ihrer Punkte oder Vektoren an.

Wenn wir jetzt mit den Geraden rechnen möchten, müssen wir einige Regeln festhalten:

  1. Seien   und   Geraden aus   und für alle   bzw.   gilt   bzw.  . Haben wir nun  , so muss für alle   die Gleichung   gelten.
  2. Sei   eine Gerade und   für alle   gilt  . Wenn wir jetzt   betrachten, muss für alle   die Gleichung   gelten.

Wenn wir Geraden addieren oder ein Skalar mit einer Geraden multiplizieren möchten, müssen wir wieder auf deren Bilder achten.

Die Geraden als NebenklassenBearbeiten

Im allgemeinen Fall sind diese "Geraden" die Nebenklassen der Form   mit dem Vektor   aus  . Die oben genannten Rechenregeln zum Rechnen mit Geraden entsprechen den bekannten Rechenregeln für Nebenklassen:

  1. Seien   und   zwei Vektoren aus  . Dann gilt:  
  2. Sei   und  . Dann ist  .

Wenn wir ein   aus   gegeben haben, so folgt   für   aus  . Weil   ein Element aus   ist, gibt es ein  , so dass  . Dann gilt für  . Außerdem ist   ein Element im Kern von  , da der Kern ein Untervektorraum ist. Also lässt sich auch   als eine Summe von   und einem Element des Kerns darstellen und dadurch gilt  .

Für die Nebenklasse   gilt:

 

Daraus folgt direkt: Wenn   ein Element von   ist, dann gilt  . Denn es gilt   und damit auch  

Die Menge der Nebenklassen   für alle Vektoren   aus   schreiben wir als  . Wir können jedem Vektor   leicht eine Nebenklasse auf   zuordnen.

Die natürliche Abbildung in die NebenklasseBearbeiten

Wir verwenden die folgende natürliche Abbildung  , um einem Vektor   seine Nebenklasse   zuzuordnen:

 

Diese Abbildung ist wohldefiniert, das heißt der Funktionswert zu jedem Vektor   ist eindeutig bestimmt und liegt in  . Denn  . Für alle Vektoren   mit   gilt zudem   und folglich ist  .

Die Menge der Nebenklassen   ist definiert durch  . Ist also eine Nebenklasse   für einen Vektor   gegeben, so wird   von der natürlichen Abbildung   auf   abgebildet. Demnach ist die Abbildung   surjektiv.

Die natürliche Abbildung ist aber im Allgemeinen nicht injektiv,

wie unser Beispiel zeigt. Es gilt  , aber  .

Es gilt  . Also können wir einer Nebenklasse   eindeutig den Vektor   im Bild von   zuornden. Umgekehrt können wir dem Vektor   die Nebenklasse   eindeutig zuordnen.

Da es für jede Nebenklasse   genau ein Element aus   gibt, können wir somit die Abbildung   mit der Vorschrift   angeben. Diese ist wohldefiniert, da erstens   nur in den Vektorraum   abbildet und zweitens gibt es für jedes   aus   genau ein  . Haben wir nun zwei Vektoren   und   mit  , aber es gilt  . Dann muss trotzdem  . Sonst bildet nämlich ein Argument auf mehrere Vektoren ab. Aber es gilt  . Denn wie wir schon vorher gesehen haben, ist  , wenn die Nebenklassen   und   gleich sind.

Außerdem ist   injektiv. Seien   und   zwei Elemente aus   mit gleichen Bildern unter  , also  . Dann gilt auch, dass die Bilder der Vektoren   und   unter der Abbildung   gleich sind. Wir haben aber vorher schon gezeigt, dass wenn  , dann  . Damit ist   injektiv.

Zu jedem Element im Bild gibt es also genau eine Nebenklasse. Also gibt es eine bijektive Abbildung   mit der Vorschrift  . Wegen der Linearität von   ist diese auch linear. Diese zwei Vektorräume   und   nennt man jetzt isomorph, da es eine bijektive, lineare Abbildung   gibt. Das bedeutet dann, dass   und   zueinander ähnlich sind.

To-Do:
  • Kommutierendes Diagramm vom Homomorphiesatz mit Bildchen von   und  
  • Wohin mit dem Satz "Das bedeutet alle Elemente aus   werden Null gesetzt. Das macht Sinn, da es für einen Vektor in einer Nebenklasse nichts ausmacht einen Vektor vom Kern dazu zu addieren. "?

Dimensionssatz Bearbeiten

Im vorigen Abschnitt haben wir uns überlegt, dass die Geraden in unserem Beispiel Elemente aus   sind. Außerdem ist die Menge aller Geraden ein Vektorraum. Dieser ist isomorph zum Bild von   und daher ist  .

In unserem Beispiel können wir alle Geraden schreiben als  , wobei   eine reelle Zahl ist. Das bedeutet: Jede dieser Geraden in   ist die Gerade des Kerns, die um ein bestimmtes Vielfaches von   verschoben wurde. Daher ist der Vektorraum aller Geraden in   hier eindimensional. Für diesen Fall ist also  .

Wir können also vermuten, dass   auch in anderen Fällen gilt. Um das zu überprüfen, betrachten wir zunächst weitere Beispiele.

Beispiele zur Überprüfung der VermutungBearbeiten

Beispiel

Die Identität   ist eine injektive Abbildung. Statt Geraden erhält man hier nur Punkte als Elemente von  . Da die Identität bijektiv ist, findet man zu jedem Element   genau ein Element, das darauf abgebildet wird und das ist  . Also ist   und damit  . Aus der Surjektivität der Identität folgt  . Damit gilt auch hier  .

Beispiel

Ein weiteres Beispiel ist die Abbildung  . Der Kern dieser Abbildung ist  . Denn ein Vektor   wird von   genau dann auf   abgebildet, wenn   und   ist. Somit ist  . Das Bild von   ist die  -Ebene, also   und somit zwei-dimensional. Also ist  . Daher gilt auch in diesem Beispiel  .

Beweis der VermutungBearbeiten

Die Geraden   füllen den gesamten Vektorraum   aus. Der Kern ist ein Untervektorraum von   und somit können wir erst eine Basis   betrachten und diese dann zu einer Basis   ergänzen. Wir können also jeden Vektor   darstellen als eine Linearkombination  , wobei die   Elemente aus dem Körper   sind.

Frage: Was entscheidet nun darüber, auf welcher Gerade sich   befindet?

Eine Veränderung in den Koeffizienten der ersten   Basiselemente macht keinen Unterschied, da diese von   auf   abgebildet werden:  , wobei die   aus   sind.

Verändern wir jedoch eines oder mehrere Basiselemente von  , so verändert sich die Gerade, auf der   sich befindet.   ist eine Basis vom Kern von   ist, und   ist linear unabhängig. Folglich gilt für eine Linearkombination   mit   genau dann  , wenn alle   Null sind.

Also gilt für   genau dann  , wenn  .

Demnach ist es sinnvoll zu behaupten, dass   eine Basis von   ist. Denn wir wissen, dass   linear unabhängig sind. Andererseits bestimmen die Koeffizienten in einer Linearkombination eines Vektors   von diesen Vektoren, auf welcher Geraden sich dieser Vektor   befindet. Also ist   auch ein Erzeugendensystem von  .

Dass   wirklich eine Basis von   ist, beweisen wir später ausführlich.

Der DimensionssatzBearbeiten

  hat   Elemente und somit ist  .

Im vorherigen Abschnitt haben wir festgestellt, dass   isomorph ist zum Bild  . Das bedeutet, dass diese Vektorräume zueinander ähnlich (isomorph) sind. Also ist ihre Dimension gleich:  . Nach der Formel, die wir bewiesen haben, ist  . Anders formuliert:

 

Diese Formel nennt man den Dimensionssatz.

To-Do:

Text aufblähen