Eigenschaften der Determinante – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Dieses Kapitel gibt eine Übersicht über die Eigenschaften der Determinantenfunktion.

Übersicht der EigenschaftenBearbeiten

Herleitung und Beweis der EigenschaftenBearbeiten

To-Do:

Folgendes in den jeweiligen Eigenschaften einfügen:

Satz (Bezug zum Gauß-Algorithmus)

Sei   ein Körper und  

1) Vertauschen der i-ten und j-ten Zeile (o.B.d.A  )

Für   gilt:  

2) Multiplikation der i-ten Zeile mit  

Für   gilt:  

3) Multiplikation des <math<\lambda \in K> fachen der i-ten Zeile zur j-ten Zeile

Für   gilt:  

Wir wollen später den Gauß-Algorithmus nutzen, um die Matrix, von der wir die Determinante berechnen wollen, zu vereinfachen. Dazu müssen wir natürlich wissen, wie die Multiplikation mit den jeweiligen Elementarmatrizen die Determinante verändert.

Beispiel (Bezug zum Gauß-Algorithmus)

Wir können schon die Determinanten für (2x2)-Matrizen berechnen. Wir wollen hier mal ein kleines Beispiel rechnen. (Später werden wir das auch noch für größere Matrizen machen.)

1) Sei  

Natürlich können wir hier mit obiger Formel leicht die Determinante berechnen:

 

Wir wollen jetzt mit dem Gauß-Algorithmus die Berechnung vereinfachen (,auch wenn das hier keinen so größen Unterschied macht).

Multiplikation der ersten Zeile mit  

 

Es gilt dann:  

2) Sei  

 

Subtraktion des 4-fachen der zweiten Zeile von der ersten Zeile:  

Damit gilt  

Wir sehen also: Es kommt jeweils dasselbe Ergebnis!

3) Jetzt wollen wir uns noch ein Beispiel für eine (3x3)-Matrix anschauen. Da wir noch keine Formel dafür haben, greifen wir auf einen kleinen Trick zurück. Wir wissen bereits, dass   gilt. Außerdem können wir jede Matrix mit vollem Rang auf die Einheitsmatrix transformieren.

To-Do:

Hyperlink auf entsprechendes Kapitel

Betrachten wir also folgende Matrix  

Wir nehmen hier der Übersicht halber bereits eine Matrix in Zeilenstufenform. Für kompliziertere Gauß-Transformationen kannst du ja in das entsprechende Kapitel schauen.

Multiplikation der 3. Zeile mit   Determinante der transformierten Matrix mit 7 multiplizieren:

 

Subtraktion der dritten Zeile von der zweiten Zeile und zweimal von der ersten Zeile:   Determinante ändert sich nicht

 

Subtraktion der zweiten Zeile zweimal von der ersten Zeile:   Determinante ändert sich nicht

 

Multiplikation der 1. Zeile mit   Determinante der transformierten Matrix mit 2 multiplizieren:

 

Damit erhalten wir für die Determinante  

Beweis (Bezug zum Gauß-Algorithmus)

1) Seien   o.B.d.A.   (sonst Umbenennung)

 

2) Sei  

 

3) Seien  

 

Notiz: Analog kann man das für elementare Spaltenumformungen beweisen. (Multiplikation von links mit den Elementarmatrizen)

Satz (Lemma)

Sei   ein Körper und   eine Nullspalte, so ist  

Beweis (Lemma)

 

Insbesondere hat die Matrix keinen vollen Rang. Wir werden später sehen, dass die  

Definition

Sei   ein Körper und   mit  

Wir definieren dann die Matrix   als die Matrix, die aus A durch streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.

Wir nennen   Minor (n-1)-ter Ordnung von A

Vertauschen von Zeilen und SpaltenBearbeiten

Satz (Vertauschen von Zeilen und Spalten)

Addition von Zeilen und SpaltenBearbeiten

Satz (Addition von Zeilen und Spalten)

Multiplikation mit SkalarenBearbeiten

Satz

Sei   eine  -Matrix über den Körper   und   ein Skalar aus dem Körper. Dann gilt:

 

Produkte von MatrizenBearbeiten

Satz

Seien   zwei  -Matrizen über den Körper  . Dann gilt für das Matrixprodukt  :

 

Inverse MatrixBearbeiten

Satz

Sei   eine invertierbare  -Matrix über den Körper  . Sei   die inverse Matrix zu A, das heißt  . Dann gilt:

 

Transponierte MatrixBearbeiten

Satz

Sei   eine  -Matrix über den Körper   und sei   die transponierte Matrix. Dann gilt:

 

Ähnliche MatrizenBearbeiten

Satz

Sei   eine  -Matrix über den Körper   und   eine weitere  -Matrix, die ähnlich zu   ist. Das heißt, es existiert eine invertierbare Matrix  , so dass  . Dann gilt:

 

Warnung

Die Umkehrung gilt nicht! Aus der Gleichheit der Determinanten folgt nicht, dass die beiden Matrizen zueinander ähnlich sind.
To-Do:

Beispiel