Determinanten – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Herleitung der Determinantendefinition über GaußBearbeiten

EinführungBearbeiten

In dem letzten Kapitel beschäftigten wir uns mit linearen Gleichungssystemen und deren Lösungen. Dabei waren wir insbesondere auch an Problemen folgender Art interessiert:

 

Dabei ist   eine quadratische  -Matrix und   zwei Vektoren im Vektorraum  , wobei   ein beliebiger Körper ist. Eine der wichtigsten Fragen im Zusammenhang mit derartigen Gleichungssysteme war, ob es eine eindeutige Lösung gibt. Unter Zuhilfenahme der bisherigen kennengelernten Theorie über Lineare Abbildungen und Matrizen, können wir die Frage ganz leicht beantworten. Falls die Matrix   invertierbar ist, dann gibt es eine eindeutige Lösung. Falls   nicht invertierbar ist, dann gibt es entweder keine Lösung oder aber die Lösung ist nicht eindeutig. Beide Aussagen sind dabei direkte Konsequenzen der Dimensionsformel.

Die Quintessenz ist also: Wenn wir wissen möchten, ob   eine eindeutige Lösung hat oder nicht, so müssen wir nur herausfinden, ob   invertierbar ist. Doch wie können wir das herausfinden? Eine Möglichkeit (von mehreren, siehe auch den Artikel über inverse Matrizen) Invertierbarkeit von   zu zeigen, wäre es, den Gaußalgorithmus aus dem vorherigen Abschnitt zu benutzen. Sobald das lineare Gleichungsystem sich in Zeilen-Stufen-Form befindet, lässt sich ganz leicht entscheiden, ob die Lösung eindeutig und damit   invertierbar ist.

Beispiel (Matrix auf Invertierbarkeit mittels Gauß überprüfen)

Sei der Körper   und die Matrix   wie oben. Wir führen nun Gaußumformungen bei der Matrix   durch:

  1. Wir addieren das Zweifache von Zeile 2 zu Zeile 3 hinzu, um eine Null im ersten Element von Zeile 3 zu erreichen:

     

  2. Wir addieren Zeile 1 zu Zeile 2 und erhalten als erstes Element in Zeile 2 eine Null:

     

  3. Wir ziehen das Fünffache von Zeile 2 von Zeile 3 ab und erhalten eine Nullzeile. Die resultierende Matrix definieren wir als  :

     

Die Matrix   ist nun offenbar nicht invertierbar, womit auch die ursprüngliche Matrix   nicht invertierbar ist.

Wir haben nun festgestellt, dass die Matrix   nicht invertierbar ist. Allerdings mussten wir hierfür relativ umständlich vorgehen. Es wäre also schön, ein schnelles und handliches Kriterium zu haben, um zu entscheiden, ob eine vorgegebene Matrix invertierbar ist oder nicht.

Erster VersuchBearbeiten

Es ist naheliegend, dieses Kriterium mithilfe einer geeigneten Funktion   umzusetzen. Die Funktion   soll dabei irgendeiner quadratischen Matrix   etwas zuordnen, an dem man erkennen kann, ob   invertierbar ist. Eine Möglichkeit wäre es jetzt die Funktion   wie folgt zu definieren:

 

Offenbar wäre   ausreichend für unsere Zwecke. Wenn wir eine Matrix   in   einsetzen, bekommen wir eine Antwort auf die Frage, ob   eine inverse Matrix besitzt. Ist  , dann ist   nicht invertierbar, wenn   dann schon. Doch hilft uns die Funktion tatsächlich weiter bei unserem Problem? Die Antwort ist Nein, denn wir wissen nicht, wie der Funktionswert berechnet wird. Wir sind eigentlich nicht weiter gekommen und haben das Problem nur umformuliert.

Determinante für DreiecksmatrizenBearbeiten

Wenn wir also eine Funktion   mit der Eigenschaft von oben einführen, muss sie auch irgendwie berechnet werden können. Doch wie lässt sich das umsetzen? Ausgangspunkt könnte nun wieder das Gaußverfahren von oben sein. Betrachte in dem Beispiel die Matrix  . Dann sieht man direkt, dass   nicht invertierbar ist, da eines seiner Diagonalargumente   ist. Wir können nun für alle Matrizen in Zeilenstufenform (sprich obere Dreiecksmatrizen) eine Funktion  , die wir ab sofort   nennen, mit unserer gewünschten Eigenschaft angeben:

Definition (Determinantenfunktion für Dreiecksmatrizen)

Sei   eine obere Dreiecksmatrix über dem Körper  , also  . Dann definiere die Determinantenfunktion   als Produkt der Diagonalelemente:

 

Falls   eine invertierbare Dreiecksmatrix ist, dann sind alle Diagonalelemente ungleich   und es folgt, dass  . Umgekehrt ist  , wenn eines der Diagonalelemente   ist, was äquivalent dazu ist, dass   nicht invertierbar ist. Das ist genau das, was wir wollen: Eine Funktion, an deren Funktionswerten wir erkennen können, ob die Matrix invertierbar ist.

Determinante beliebiger MatrizenBearbeiten

Nehmen wir nun eine beliebige quadratische Matrix   und sei   die durch Gaußumformungen aus   hervorgehende obere Dreiecksmatrix. Wie können wir sinnvoll auch die Determinante für   definieren? Da die Gaußumformungen die Lösungen von Gleichungssystemen invariant lassen, wäre es sinnvoll, dass   genau dann den Wert   annimmt, falls   ist. Eine Möglichkeit wäre nun, die Determinante von   mit der Determinante von   gleichzusetzen, also

 

Allerdings gibt es ein Problem: Die Matrix   ist nicht eindeutig definiert:

Beispiel

Sei  . Wir beginnen umzuformen:

  1. Wir ziehen das Doppelte der ersten Zeile von der zweiten und von der dritten Zeile ab:

     

  2. Nun verdoppeln wir Zeile 2 und multiplizieren Zeile 3 mit  :

     

  3. Jetzt erhalten wir eine Dreiecksmatrix, wenn wir Zeile 2 von Zeile 3 abziehen:

     

So erhalten wir also  .

Alternativ hätten wir nach dem ersten Schritt auch direkt das  - fache von Zeile 2 von Zeile 3 abziehen können:

 

So erhalten wir  .

Wir müssen also eine oder mehrere zusätzliche Eigenschaften an die Funktion   fordern, damit die Definition von oben wohldefiniert wird. Betrachten wir nochmal die Definition der Determinante für eine obere Dreiecksmatrix  . Fasse die einzelnen Spalten der Matrix   als Vektoren über   auf. Dann könnte man die Determinante   als das Volumen interpretieren, das von den Spaltenvektoren der Matrix   aufgespannt wird. Um sich das besser zu veranschaulichen, nehmen wir an, dass unser Körper   und   ist.

To-Do:

Bilder für n = 2,3


To-Do:

Aus diesem Grund wird die Determinantenfunktion, kurz Determinante, eingeführt. Die Determinante soll dabei eine Funktion sein, die einer quadratischen Matrix   eine Zahl aus dem zugrundliegenden Körper   zuordnet. Dabei soll die Eigenschaft, ob eine Matrix invertierbar ist, durch die Abbildung extrahiert werden. Das heißt, man soll anhand der Funktionswertes   erkennen können, ob die Matrix   invertierbar ist. Eine mögliche Umsetzung einer Funktion mit dieser Eigenschaft könnte also wie folgt ausschauen: Falls  , so ist   nicht invertierbar. Umgekehrt ist   invertierbar, falls   gilt.

Wir wollen nun eine neue Funktion einführen mit der sich die Invertierbarkeit von Matrizen feststellen lässt. Es stellen sich natürlich viele Fragen: Gibt es eine solche Funktion? Ist die Funktion eindeutig? Falls nein, welche zusätzliche(n) Bedingung(en) muss/müssen gefordert werden? Falls ja, wie sieht die Funktion konkret aus und wie kann man mit ihr rechnen?

Im Folgenden werden wir zunächst eine anschauliche Möglichkeit kennenlernen, die Determinantenfunktion für Matrizen im   und   zu definieren. Anschließend konstruieren wir die Determinantenfunktion für Vektorräume beliebiger Dimension und Körper.

Volumen in endlichen reellen VektorräumenBearbeiten

Im Folgenden wollen wir das Volumen, das von   Vektoren im reellen Vektorraum   für   aufgespannt wird, berechnen. Dafür untersuchen wir zuerst  , da man sich diese Volumen noch anschaulich vorstellen kann.

Volumen in  Bearbeiten

Betrachten wir den Vektorraum   über dem Körper  . Wir wollen nun die Länge, des Vektors   bestimmen. Es ist intuitiv klar, dass diese gleich   ist.

Volumen in  Bearbeiten

Nun betrachten wir   als  -Vektorraum. Wir wollen die Fläche   bestimmen, die von zwei Vektoren   und   aufgespannt wird. Diese Fläche ist ein Parallelogramm.

Sei   eine Abbildung mit  .

Es gilt  , aber das können wir noch nicht zeigen. Deshalb beweisen wir nun, dass die beiden Abbildungen viele Eigenschaften gemeinsam haben:

  • Wenn   und   linear abhängig sind, dann folgt   und  . Es gilt  , denn es wird überhaupt keine Fläche von den Vektoren aufgespannt.  : Da die Vektoren linear abhängig sind, gibt es ein  , so dass  . Also gilt  .
To-Do:

Bild einfügen

  • Wir werden nun ein einfaches Beispiel untersuchen. Sei   und  . Dann ist die Fläche ein Rechteck mit Seitenlängen   und  . Also folgt  . Es gilt auch  .
  • Als nächstes betrachten wir die Vektoren   und  . Dann erzeugen   und   ein Quadrat mit Seitenlängen  . Somit gilt  . Auch mit unserer Abbildung folgt  .
To-Do:

Bilder einfügen

  • Der Flächeninhalt und   ist symmetrisch. Für   ist das klar. Bei   gilt:  .
  • Ist nun   für   und  , dann gilt   und genauso  

Wir zeigen die Aussage zuerst für den Fall   und   linear abhängig. Also gibt es ein  , sodass  . Dann lässt sich das von   und   erzeugte Parallelogramm in zwei disjunkte Parallelogramme aufteilen, die von   und   bzw.   und   aufgespannt werden. Addiert man den Flächeninhalt der beiden kleinen Parallelogramme, erhält man die Fläche des großen Parallelogramms.

Außerdem gilt

 
To-Do:

Linearität ergänzen

DefinitionBearbeiten

Spezialfall: reelle 2x2-MatrixBearbeiten

 

Wir konstruieren eine Funktion   mit der Hilfe man den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren   aufgespannt wird.

To-Do:

Bild einfügen

Diese Abbildungen soll folgende Eigenschaften erfüllen:

Multilinearität (ML) (Linearität in jeder Komponente)Bearbeiten

  •  
  •  
  •  
  •  

Alterniertheitsbedingung (AB)Bearbeiten

 

Satz

 

Beweis

 

Normierungsbedingung (NB)Bearbeiten

 

Bemerkung: Diese Bedingung sollte intuitiv klar sein, wenn wir an das Parallelogramm denken, dass von den Einheitsvektoren aufgespannt.

Satz (Berechnung der Determinante in  )

 

Beweis (Berechnung der Determinante in  )

 

In der Linearen Algebra II werden wir sehen, dass der Betrag der Determinante wirklich den Flächeninhalt des Parallelogramm ergibt.

To-Do:

Bild einfügen

Allgemeiner FallBearbeiten

Definition (Determinante)

Sei   ein Körper. Eine Abbildung   heißt Determinante, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  • (ML)   ist linear bzgl. jeder Spalte von  , wobei   (Spaltenvektor), d.h. für alle  
  1.  
  2.  
  • (AB)   ist alternierend, d.h.  , falls   zwei identische Spalten hat.
  • (NB)   ist normiert, d.h.  

Man bezeichnet die Determinante deshalb auch als normierte alternierende Multilinearform.

Existenz und Eindeutigkeit der DeterminanteBearbeiten

To-Do:

Existenz- und Eindeutigkeitssatz der Determinante

Um die Existenz und Eindeutigkeit der Determinante zu beweisen, müssen wir zunächst die Auswirkungen der elementaren Zeilenoperationen auf den Wert der Determinante untersuchen.

Satz (Auswirkungen der elementaren Zeilenoperationen auf die Determinante)

Sei   eine multilineare und alternierende Abbildung. Weiter seien   eine  -Matrix über dem Körper   und   eine Matrix, die aus   durch eine elementare Zeilenoperation entsteht. Dann gilt:

  1.  , wenn   durch das Vertauschen zweier Zeilen entsteht
  2.  , wenn   durch die Multiplikation einer Zeile mit   entsteht
  3.  , wenn   durch die Addition des  -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile entsteht (mit  )

Beweis (Auswirkungen der elementaren Zeilenoperationen auf die Determinante)

Beweisschritt:  , wenn   durch das Vertauschen zweier Zeilen entsteht

Sei   mit den Spaltenvektoren  . Dann hat nach der Voraussetzung   die Form   mit  . Zu zeigen ist also  . Wir nutzen die Eigenschaften von   und rechnen:

 

Also gilt  . Formen wir das um, erhalten wir  .

Beweisschritt:  , wenn   durch die Multiplikation einer Zeile mit   entsteht

Sei   eine beliebige Spalte von   und  . Dann folgt diese Eigenschaft direkt aus der Multilinearität von  :

 

Beweisschritt:  , wenn   durch die Addition des  -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile entsteht

Sei   mit den Spaltenvektoren  . Dann hat nach der Voraussetzung   die Form   mit  . Unter Verwendung der Eigenschaften von   rechnen wir:

 

Also gilt:   bzw.  .


Mit diesem Wissen können wir uns nun dem Beweisen der Existenz und Eindeutigkeit der Determinante zuwenden.

Satz (Existenz- und Eindeutigkeitssatz der Determinante.)

Es existiert genau eine multilineare, alternierende und normierte Determinante  

Zusammenfassung des Beweises (Existenz- und Eindeutigkeitssatz der Determinante.)

Der Satz besteht aus zwei Komponenten, dem Existenzbeweis und dem Eindeutigkeitsbeweis. Die Existenz können wir über vollständige Induktion nachweisen und die Eindeutigkeit direkt mittels Fallunterscheidung. Allerdings benötigen wir für beide Schritte den vorangegangenen Satz.

Beweis (Existenz der Determinante)

Wir beweisen die Existenz der Determinante   mittels vollständiger Induktion nach  .

Beweisschritt: Induktionsanfang ( )

Wir definieren  . Dies ist erlaubt, da die Eigenschaften Multilinearität, Alterniertheit und Normiertheit erfüllt werden.

Beweisschritt: Induktionsvoraussetzung

Wir nehmen an, die Determinante   für eine  -Matrix über einem Körper   ist definiert.

Beweisschritt: Induktionsschritt von   nach  

Für die Determinante gelte

 

wobei   die Matrix ohne die  -te Zeile und  -te Spalte sei.

Nun müssen wir nur noch die Eigenschaften Multilinearität, Alterniertheit und Normiertheit beweisen:
Multilinearität:

 


Alterniertheit:

 


Normiertheit:

 

Damit ist bewiesen, dass eine Determinante mit den Eigenschaften Multilinearität, Alterniertheit und Normiertheit existiert.

Beweis (Eindeutigkeit der Determinante)

Sei   eine Abbildung, mit den Eigenschaften Multilinearität, Alterniertheit und Normiertheit. Zeige   für alle quadratischen Matrizen  .

Hier unterscheiden wir zwei Fälle:

Fall 1:   ist singulär

Für eine singuläre Matrix   gilt  , was bedeutet, dass nach Anwendung des Gaußverfahrens Nullzeilen bzw. -spalten auftreten. Da   und   alternierend sind, gilt:  .

Fall 2:   ist regulär

Ist   regulär, so existieren elementare Zeilenoperationen, die   in die reduzierte Zeilenstufenform   überführen. Aufgrund der Normiertheit von   und   gilt:  . Wie wir im vorangegangenen Beweis erfahren haben, ändert die Umformung der Matrix   in reduzierte Zeilenstufenform sowohl  , als auch   um den gleichen Betrag. Also können wir schließen:  .

In beiden Fällen gilt also  , folglich ist die Determinante eindeutig.

To-Do:
  • Determinante für Dreiecksmatrizen
  • Eigenschaften der Determinante
  • Adjungierte
  • Cramer'sche Regel
  • Leibniz-Formel der Determinante
  • x durch kartesisches Produkt ersetzen
  • Extra-Kapitel für Permutationen