Determinante besonderer Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Für einige Matrizen mit bestimmten Eigenschaften lässt sich die Determinante besonders leicht berechnen. Hier lernen wir Beispiele dafür kennen.

BlockmatrizenBearbeiten

To-Do:

Blockmatrizen

Vandermonde-DeterminanteBearbeiten

Eine Matrix, die folgende Form annimmt, nennt man Vandermonde-Matrix:

 

Abkürzend benutzen wir im Folgenden für eine solche Matrix die Schreibweise  . Sie ist also definiert als:

Definition (Vandermonde-Matrix)

Sei   ein  -Tupel aus einem Körper  , wir definieren   als die Matrix   mit  .

Ihre Determinante lässt sich besonders leicht berechnen, denn es gilt:

Satz (Vandermonde-Determinante)

Die Determinante einer Vandermonde-Matrix kann über folgende Formel berechnet werden:

 

Beweis (Vandermonde-Determinante)

Wir beweisen die Formel der Vandermonde-Determinante per Induktion über  :

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für   bewiesen werden soll:

 

1. Induktionsanfang:

Für   haben wir die  - Matrix  , deren Determinante   ist. Die Aussage ist gezeigt, denn das Produkt   ist leer, also auch  .

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

Gelte die im Satz formulierte Aussage für  , Sei also

 

2b. Induktionsbehauptung:

 

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Wir versuchen nun die Determinante von   auf die Determinante von   zurückzuführen. Dazu nutzen wir die Eigenschaft der Determinante aus, dass sie beim Addieren von Vielfachen einer Zeile oder Spalte zur anderen gleich bleibt. Wir subtrahieren nun von jeder Spalte (bis auf die erste) das  - fache der vorherigen Spalte. Also

 

DreiecksmatrizenBearbeiten

To-Do:

Determinante von Dreiecksmatrizen

Verständnisfrage: Was ist die Determinante der Einheitsmatrix in  ?

Die Einheitsmatrix ist eine Dreiecksmatrix. Daher ist ihre Determinante das Produkt der Einträge auf der Diagonalen. Diese Einträge sind alle  , also ist auch die Determinante  .