Mathe für Nicht-Freaks: Cramer'sche Regel

EinleitungBearbeiten

Wir wollen uns in diesem Kapitel nochmals der Frage zuwenden, wie wir ein lineares Gleichungssystem der Form   mit einer quadratischen und invertierbaren Koeffizientenmatrix  , sowie  ,   lösen können.   bezeichnet dabei wie üblich einen Körper - in unseren Fällen also entweder den Körper der reellen oder der komplexen Zahlen.

To-Do:

Ausführlicher

Cramer'sche RegelBearbeiten

Satz (Cramersche Regel)

Sei   ein lineares Gleichungssystem mit einer quadratischen und invertierbaren Koeffizientenmatrix  , wobei   von der Form  , sowie  ,  .

Dann erfüllt die Lösung   die Gleichung

 

Beweis (Cramersche Regel)

Der Beweis zur Cramerschen Regel ist leider etwas technisch und mag auf den ersten Blick vielleicht etwas abschreckend wirken, dennoch sind die verwendeten Argumente relativ einleuchtend. Wir gehen den Beweis Schritt für Schritt an:

Sei also   ein lineares Gleichungssystem mit einer quadratischen und invertierbaren Koeffizientenmatrix  , wobei   von der Form  , sowie  ,  .

Wir wollen den Satz allgemein für eine beliebige Komponente   für alle   von   beweisen. Diese allgemeine Komponente   erfüllt nach dem Satz:

 .

Aus dem Gleichungssystem sofort klar wird, dass gilt  . Bringen wir   auf die andere Seite haben wir dastehen:  . Aus dieser Darstellung sehen wir sofort, dass die Vektoren   linear abhängig sind. Wir wissen, dass die Determinante einer Matrix mit linear abhängigen Spaltenvektoren den Wert   hat (dies folgt aus der Multilinearität und Alternation der Determinantenfunktion). Wir wollen uns also mit Hilfe unserer linear abhängigen Vektoren die Hilfsmatrix   definieren:

 .

Nun wissen wir, dass   und unter Ausnutzung der Multilinearität der Determinantenfunktion können wir schreiben:  .

Damit sind wir am Ziel, denn wir müssen jetzt nur noch Umstellen und erhalten damit die Behauptung:

 .

BeispielBearbeiten

Wir wollen das Vorgehen zur Lösungsbestimmung mit Hilfe der Cramerschen Regel anhand eines ersten Beispieles demonstrieren:

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem

 

Aus dem Gleichungssystem ergibt sich die für die Cramersche Regel benötigte Koeffizientenmatrix  . Unsere Koeffizientenmatrix ist offensichtlich quadratisch und zudem ergibt sich über die Regel von Sarrus, dass  , womit   gilt. Das Gleichungssystem besitzt also eine eindeutige Lösung  . Zudem erkennen wir, dass  . Unsere Lösung   erfüllt nach dem oben angeführten Satz:

 

wobei mir im dritten Schritt dreimal die Regel von Sarrus verwendet haben. Unsere gefundene Lösung können wir jetzt in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen

 

und uns davon überzeugen, dass wir uns nicht verrechnet haben.

Das Beispiel lässt bereits einen nicht unwesentlichen Nachteil der Cramerschen Regel erahnen: aufgrund der Determinantenbasiertheit der Regel wird die Bestimmung der eindeutigen Lösung für eine hohe Anzahl an Gleichungen und Variablen sehr schnell rechenaufwändig.

ÜbungsaufgabenBearbeiten

To-Do: