Buchanfang lineare Algebra/Grundvorstellungen Summe, (konstruierte) direkte Summe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Todos

• In den Kapitel vor der direkten Summe muss noch der Informationsbegriff des Vektorraums eingebracht werden ("Vektoren kodieren Information") -> Vektoren kodieren "zusammenhängende" Informationen oder so was in der Art
  • Todo: Wie hängt Vektorraumstruktur mit Information zusammen?
• Wie ist die Informationsvorstellung bei Linearkombinationen, Spann, Erzeugnis, lineare Unabhängigkeit (=Redundanzfreiheit der Information), Basis vorhanden?
• Abschnitte nach Linearkombinationen, Spann, etc...

Grundvorstellung

• Als Einführung in das Thema: Frage, wie aus zwei gegebenen Untervektorräumen eines Vektorraums ein neuer UVR konstruiert werden kann (Schnitt funktioniert, Vereinigung funktioniert nicht) --> Frage, die zu Summe führt: welche Vektoren müssen i.A. mindestens zur Vereinigung ergänzt werden, um UVR zu erhalten? (vgl. bestehender Artikel)
  • Gut als Einführung

2. Zwei Konzepte zu der der Summe und (inneren) direkten Summe mehrerer Untervektorräume eines K-Vektorraums V zugrundeliegenden Intuition (betonen jeweils Aspekte des Zusammenführens verschiedener UVR zu einem VR bzw. des Zerlegens des VR in verschiedene UVR unterschiedlich stark):

2.1. Analogie zwischen der Beziehung einzelner Vektoren $v_{1},...,v_{n}\in V$und der Beziehung einzelner Untervektorräume $U_{1}...,U_{n}$ (betont vor allem den Aspekt des Zusammenführens verschiedener UVR mithilfe der Summe/der (inneren) direkten Summe):

- $span\{v_{1},...,v_{n}\}$ korrespondiert zu $U_{1}+...+U_{n}$

- $span\{v_{1},...,v_{n}\}=V$ ($v_{1},...,v_{n}$ Erzeugendensystem) korrespondiert zu $U_{1}+...+U_{n}=V$ (ggf. neue Nomenklatur: die UVR erzeugen den VR, die UVR sind komplett?)

- $v_{1},...,v_{n}$ linear unabhängig korrespondiert zu Summe $U_{1}+...+U_{n}$ direkt

- Basis = direkte Summe, die den gesamten Vektorraum ergeben

(weiterführender Artikel nach der Einführung in Summe/direkte Summe/konstruierte direkte Summe: Erläuterung dieser Analogie)

2.2. (Ergänzend:) Zerlegung eines Vektorraums in direkte Summe von Untervektorräumen als Aussage über die Information, die in den UVR enthalten ist (Grundvorstellung des VR im Endlich-(n-)dimensionalen: jedes Element des Vektorraums als durch n Informationen charakterisiert)

- Unterschied konstruierte direkte Summe/direktes Produkt v. Gruppen/Intuition des "Nebeneinanderstellens"

- Zerlegung/Zusammenführen --> Intuition der Zerlegung mit VR als Information

2.3 Informationsbegriff und direkte Summe: Todo: ausarbeiten

Ausblick

• Quantenmechanik: Projektion auf Eigenraum -> Informationen gehen verloren

- Anwendung: Vereinfachung von Vektorräumen (Jordan-Normalform), ggf. VR in der Quantenmechanik (Zerlegung in direkte Summe v. Eigenräumen)