Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Schwache Lösungen der Transportgleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten die homogene und inhomogene Transportgleichung für stetig differenzierbare Anfangswerte betrachtet.

 

Nun verallgemeinern wir den Lösungsbegriff durch Übergang auf eine Integralsgleichung. Die Lösungen sind weiterhin eine Verschiebung in Raum und Zeit, daher der Name Transportgleichung.

Die lineare TransportgleichungBearbeiten

Sei  , wobei   die Zeit ist und   der Ort.

Definition

Lineare Transportgleichung

Seien   gegeben. Sei   der Ortsgradient und sei   das Skalarprodukt auf  . Dann ist die lineare Transportgleichung definiert als

 

Das Anfangswertproblem ist eine Vorgabe des Anfangswertes durch eine Funktion   zur Zeit  , d.h. eine Lösung   der Gleichung, die zusätzlich erfüllt

 

Die Transportgleichung heißt linear, da sie nur linear von u und seinen Ableitungen abhängt, was sie erheblich leichter lösbar macht.

Schwache Lösung für konstantes b und homogenen FallBearbeiten

Wenn die Anfangswerte nicht   sind, existiert keine  -Lösung, wie der folgende Satz zeigt. Wir suchen dennoch eine verallgemeinerte Lösung und müssen dazu den Lösungsbegriff der Differentialgleichung verallgemeinern. Den bisherigen Lösungsbegriff nennen wir klassische Lösung.

Satz

Sei  . Dann hat die Anfangswertaufgabe keine  -Lösung.

Beweis

Annahme: Es gibt eine  -Lösung. Dann existiert nach dem zweiten gezeigten Satz ein   mit

 

Für   folgt

 

ein Widerspruch dazu, dass g nicht stetig differenzierbar ist.

Wie verallgemeinern wir nun die Lösung? Das geht immer gleich: Wir multiplizieren mit einer beliebigen Funktion  , integrieren über   und   und ziehen durch partielle Integration bzw. durch den Satz von Gauß/Stokes die Ableitung von   auf   hinüber. Das Randintegral entfällt, da   kompakten Träger hat. Dabei benötigen wir den Satz von Fubini, um die Integrale zu vertauschen. Der Satz von Fubini lässt sich anwenden, da q beschränkt ist (als stetige Funktion mit kompaktem Träger) und da   als Lösung der PDGl integrierbar ist über  

Eine Funktion  , die für alle solchen   die entstandene Gleichung erfüllt, heißt schwache Lösung der Differentialgleichung. .

Nun zur Herleitung, soweit wir das abschätzen können, muss   unabhängig von   gefordert werden.

 

Diese neue Integral-Gleichung macht Sinn für alle  , die über jedes Kompaktum integrierbar sind, da   beschränkt ist. D.h. wir haben eine echte Verallgemeinerung gefunden. Diese Funktionen nennen wir lokal integrierbar. Schreibweise  . Die Lösung   muss nur lokal integrierbar sein, da die Ableitungen von   alle beschränkt sind.

Definition

  • Ein   heißt lokal integrierbar, Schreibweise   genau dann wenn   über jedes Kompaktum integrierbar ist. Insbesondere ist jede stetige Funktion beschränkt auf dem Kompaktum und lokal integrierbar.
  •   heißt schwache Lösung des Anfangswertproblems
     

    genau dann wenn für alle  :

     

    Jede klassische Lösung ist auch eine schwache Lösung

Beweis

Das haben wir oben nachgerechnet.

Satz

Sei  . Dann ist   die eindeutige schwache Lösung von

 

d.h. auch hier findet nur ein Transport statt entlang einer Geraden.

Beweis

Existenz:

Mit der Variablensubstitution   gilt

 

Eindeutigkeit:

Seien   zwei schwache Lösugnen. Setze  . Zeige : Jede   lässt sich schreiben als

 

mit geeignetem   Dann gilt

 

und somit da   beliebig war,

 

Zu   wähle   so groß dass   und setze

 

Dann gilt  : Man kann Integral und Ableitung vertauschen, da die Ableitung von p stetig und beschränkt ist (auf dem kompakten Träger). siehe auch Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung Die Lösung der Anfangswertaufgabe

 

ist nach obigem Satz

 

und das ist  : Man kann Integral und Ableitung vertauschen, da die Ableitung von   stetig und beschränkt ist (auf dem kompakten Träger). siehe auch Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung Für   mit   gilt  . Für   gilt

 

Damit gilt

 

und   und   ist die gewünschte Lösung.

To-Do:

Wie sehen die schwachen Lösungen aus für nicht-konstantes b und  : Kennt jemand eine Literaturquelle? Das wäre gerne noch zu ergänzen.