Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Regularität von Lösungen der Laplacegleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Im letzten Kapitel hatten wir die Harnacksche Ungleichung eingeführt, die wir nun benötigen.

Wir definieren uns eine unendlich oft differenzierbare "Buckelfunktion" mit Träger in  , die zum Rand der Kugel hin Null wird. Mit dieser und einer sogenannten Faltung zeigen wir, dass jede Funktion, die die sphärische Mittelwerteigenschaft oder die Mittelwerteigenschaft auf Kugeln erfüllt, automatisch unendlich oft differenzierbar ist! Insbesondere ist jede harmonische Funktion unendlich oft differenzierbar.

Am Ende zeigen wir, dass Harmonizität bei gleichmäßiger Konvergenz erhalten bleibt und dass wegen der im vorigen Kapitel bewiesenen Harnack-Ungleichung Konvergenz der Funktionenfolge dabei in einem Punkt genügt.

Der Standard-GlätterBearbeiten

Satz

Die Funktion

 

ist unendlich oft differenzierbar (wir sagen auch glatt) mit kompaktem Träger  , Schreibweise  .

Man wählt  , sodass  

Daraus konstruieren wir für   die Funktionen

 

Diese haben den kompakten Träger   und ihr Integral ist wieder Eins. Ihr Träger schrumpft also und damit die Fläche unter dem Integral gleich bleibt, erhöht man den Funktinswert.

To-Do:

Bild einfügen

Beweis

:

Die Funktion   ist unendlich oft differenzierbar auf ganz  .

Die Funktion   ist unendlich oft differenzierbar auf ganz  .

Die Funktion   ist nur auf   unendlich oft differenzierbar.

Die Verknüpfung dieser drei Funktionen ist unendlich oft differenzierbar auf  . Wir müssen also nur die beliebig häufige Differenzierbarkeit in   nachrechnen.

Behauptung: Für   gilt

 

mit  

  Induktionsanfang: Mit der Kettenregel ergibt sich

 

  Induktionsschritt: Erneut mit der Kettenregel und der Induktionsvoraussetzung gilt

 

und das ist wieder von der Form oben. Da die Exponentialfunktion schneller steigt als jede Potenzfunktion gilt gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks:_Regel_von_L'Hospital#Wachstumsverhalten_von_Exponential-_und_Logarithmusfunktion

 

und es folgt

 

Damit ist die Ableitung stetig in   und   auf ganz   differenzierbar.

Nur für   ist   ungleich Null und somit   nach Definition.

:

Da die Funktionen   und   unendlich oft differenzierbar sind, ist ihre Verknüpfung ebenfalls unendlich oft differenzierbar. Wegen

 

folgt

 

und somit  .

Das Integral ändert sich nicht gemäß der Transformationsformel: wir betrachten die Abbildung

 

Ihre partielle Ableitung ist

 

wobei   Eins wird für   und Null sonst. Das ergibt für die Determinante des Differentials das Produkt der Diagonaleinträge (alle anderen Einträge der Matrix sind Null)

 

Mit der Transformationsformel folgt

 

GlättungenBearbeiten

Wir glätten nun eine lokal integrierbare beliebige Funktion jeweils lokal mit dem Glätter s, indem wir die Mittelung durch Integration verwenden.

Satz

Sei   offen,   und

 

alle  , die Abstand größer   vom Rand von   haben. Für  , d.h. eine auf allen kompakten Teilmengen von   integrierbare Funktion, definiert man die Glättung von   als

 

Sie ist unendlich oft differenzierbar und und für beliebige Multiindizes   gilt

 

Beweis

Da alle Ableitungen von   auf dem kompakten   beschränkt (da stetig) sind und da   lokal integrierbar ist über   lassen sich Integral und Ableitung vertauschen, auch mehrmals gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung#Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung

Regularität und sphärische MittelwerteigenschaftBearbeiten

Satz

Sei   offen und   erfülle die sphärische Mittelwerteigenschaft für alle  , d.h.

 

Dann gilt für alle  

 

mit der  -Glättung von   d.h.   ist unendlich oft differenzierbar und harmonisch auf  .

Beweis

Sei  . Da   nur von   abhängt, gilt mit der sphärischen Mittelwerteigenschaft und damit, dass das Integral über   gleich Eins ist:

 

Damit ist   unendlich oft differenzierbar auf ganz  . Mit der Mittelwerteigenschaft folgt, dass es harmonisch ist  .

Regularität und Mittelwerteigenschaft auf KugelnBearbeiten

Satz

Sei   offen und   erfülle die Mittelwerteigenschaft auf Kugeln, d.h. für alle   gelte

 

dann gilt für alle  

 

und   ist unendlich oft differenzierbar und harmonisch.

Beweis

:

Zeige, dass die sphärische Mittelwerteigenschaft erfüllt ist und wende den vorigen Satz an.

Sei  , definiere das Integral über die Kugeloberflächen

 

Da   stetig ist und auf dem kompakten   beschränkt ist, kann man Grenzwert und Integral vertauschen mit dem Satz über majorisierte Konvergenz und   ist stetig gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung#Vertauschen_von_Grenzwert_und_Integral Damit ist   integrierbar und es gilt für  

 

Ableiten der konstanten Funktion ergibt

 

d.h.

 

Mit dem vorangehenden Satz folgen die Aussagen.

Konvergenzsatz von WeierstraßBearbeiten

Satz (Harmonizität und gleichmäßige Konvergenz)

Harmonizität bleibt unter gleichmäßiger Konvergenz erhalten:

Sei   offen und zusammenhängend. Sei   eine Folge harmonischer Funktionen auf  , die lokal gleichmäßig gegen ein   konvergiert. Dann ist   harmonisch auf  .

Beweis (Harmonizität und gleichmäßige Konvergenz)

:

Für jede Kugel   gilt

 

wobei   als lokal gleichmäßiger Grenzwert stetiger Funktionen stetig ist und man wegen der gleichmäßigen Konvergenz Grenzwert und Integral vertauschen kann, da nur über eine Kugel endlichem Maßes integriert wird, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_über_majorisierte_Konvergenz#Aufgabe:_Gleichmäßige_Konvergenz

Da   die Mittelwerteigenschaft auf Kugeln erfüllt, ist   harmonisch auf ganz  .

Harnackscher KonvergenzsatzBearbeiten

Satz

Sei   offen und zusammenhängend. Sei   eine monoton wachsende Folge harmonischer Funktionen. Gibt es ein  , sodaß   beschränkt und konvergent ist, so konvergiert   auf jeder zusammenhängenden offenen Menge  , mit   gleichmäßig gegen eine harmonische Fumktion auf  .

Beweis

Wegen der Monotonie ist   für   eine nicht-negative harmonische Funktion wegen

 

Konstruktion einer Menge W:

Sei   offen und zusammenhängend und   kompakt. Sei   beliebig. Da   offen und zusammenhängend ist, lässt sich ein   mit   mit   konstruieren:

Da   zusammenhängend ist, ist   wegzusammenhängend. Wähle einen Weg   von   zu einem beliebigen Punkt  . Das Bild dieser Kurve ist kompakt. Insbesondere ist sein Abstand   vom abgeschlossenen Rand von   echt größer Null, siehe das Kapitel

Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes

Überdecke jeden Punkt der Kurve mit einer abgeschlossenen Kugel mit Radius  . Wegen der Kompaktheit der Kurve genügen endlich viele Kugeln und ihr Abschluss ist wieder in   mit Abstand größer  . Füge diese Kugeln zu   hinzu zu  : dann ist das Ganze wegzusammenhängend in   und somit zusammenhängend und der Abschluss ist nach Konstruktion in   und beschränkt und somit kompakt.

Wende die Harnacksche Ungleichung in W an:

Es gilt mit der Harnackungleichung des letzten Kapitels

 

Da   konvergent ist, ist es eine Cauchyfolge und somit ist   eine Cauchyfolge bzgl. der Supremumsnorm auf   und ist damit gleichmäßig konvergent  .

Mit dem Konvergenzsatz von Weierstraß ist der Grenzwert eine harmonische Funktion.