Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Eine harmonische Funktion ist analytisch – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten dann die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind. Wir hatten daraufhin Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen gezeigt, mit diesen beweisen wir nun, dass harmonische Funktionen analytisch sind, sich also durch ihre Tayorreihe darstellen lassen.

Der MultinomialsatzBearbeiten

Den Binomischen Lehrsatz hatten wir schon hergeleitet in Mathe_für_Nicht-Freaks: Binomischer_Lehrsatz#Der_Binomische_Lehrsatz. Jetzt wollen wir das verallgemeinern

Satz (Multinomialsatz)

Für   und einen Multiindex   mit   gilt mit   und   und  

 

Beweis (Multinomialsatz)

Wie erwartet verwenden wir Induktion für den Beweis und die binomische Formel

 

Induktionsanfang:  . Das ist einfach die binomische Formel mit  

 

Induktionsschritt:  

 

Eine harmonische Funktion ist analytischBearbeiten

Satz (Multinomialsatz)

Sei   harmonisch in  . Dann ist   in   analytisch.

Beweis (Multinomialsatz)

Sei   beliebig. Wir müssen zeigen, dass es eine kleine Umgebung gibt, in der sich   durch eine konvergente Potenzreihe darstellen lässt. Wir wissen schon, dass   unendlich oft differenzierbar ist gemäß Kapitel Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Regularität_von_Lösungen_der_Laplacegleichung Die Taylorreihe für   im Mehrdimensionalen ist

 

Wir müssen für das Restglied   zeigen, dass es gegen Null geht:

 

Dabei ist   abhängig von  .

Die Formel ergibt sich, indem man   in eine Taylorreihe um den Punkt   entwickelt.

To-Do:

in eigenem Satz Taylorreihe beweisen und hierauf anwenden?

Lege nun einen Radius im Inneren von   fest  . Dann gilt, da   insbesondere stetig und damit beschränkt auf   ist

 

Mit der Abschätzung der Ableitung für   aus Kapitel Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Liouville

 

erhalten wir also

 

Wegen   (das zeigen wir am Ende) gilt

 

Mit dem gerade bewiesenen Multinomialsatz   ergibt sich   und insgesamt

 

und die Abschätzung des Restgliedes gelingt für  

 

Dabei ist wegen des Multinomialsatzes die Anzahl Summanden kleiner gleich  .

 

Wir müssen noch zeigen, dass   gilt, dies zeigen wir mit Induktion. Der Induktionsanfang ist  . Der Induktionsschritt ist

 

Wir zeigen noch, dass der zweite Term kleiner ist als   und damit ist der Beweis geführt: Wir verwenden das Kapitel Mathe_für_Nicht-Freaks: Eigenschaften_der_Exponentialfunktion#Äquivalenz_der_Reihen- und_Folgendarstellung_für_komplexe_Argumente für   und   und erhalten