Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Kirchhoffsche Formel für n=3 – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nach der Wärmeleitungsgleichung gehen wir nun zur Wellengleichung über, sie lautet

 

Sie heißt homogen für  , sonst inhomogen.

Im letzten Kapitel bewiesen wir die Darstellungsformel für die Lösung im Ganzraum   und ein Spiegelungsprinzip. Nun zeigen wir die Euler-Poisson-Darbaux-Gleichung und die Kirchhoffsche Regel, das ist der Ganzraumfall für Dimension n=3.

Sphärische MittelwerteBearbeiten

Wir betrachten erneut das Anfangswertproblem der Wellengleichung

 

wobei   und   und definieren uns für   und   die sphärischen Mittelwerte

 

Die Euler-Poisson-Darbaux-Gleichung für beliebige DimensionBearbeiten

Satz

Sei   mit   eine Lösung des obigen homogenen Anfangswertproblems. Dann gilt für alle  , dass   und   erfüllt das Anfangswertproblem

 

Beweis

Wir zeigen zunächst  : Die  -Abhängigkeit ziehen wir mit der Transformationsformel aus den Integrationsgrenzen auf den Integranden, um leichter ableiten zu können

 

ergibt

 

da alle Ableitungen   stetig sind nach Voraussetzung für   sind sie beschränkt auf dem kompakten   und insbesondere integrierbar mit integrierbarer Majorante. Damit kann man Integral und Ableitung vertauschen Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung

To-Do:

t-Abhängigkeit irrelevant?

Die Anfangsdaten ergeben sich unmittelbar gemäß

 

und

 

Nun müssen wir noch die Differentialgleichung zeigen: Am Schnellsten geht

 

Unter Verwendung eines früher bewiesenen Hilfssatzes Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Mittelwerteigenschaft_der Laplacegleichung gilt

 

Die zweite Ableitung ergibt sich daraus mit der Wellengleichung zu

 

Ein Hilfssatz für Dimension n=3Bearbeiten

Wir wollen eine ähnliche Struktur der Anfangswertprobleme erreichen. daher definieren wir uns für n=3

 

Satz

Sei   mit   eine Lösung des homogenen Anfangswertproblems

 

Dann gilt für alle  , dass   und   erfüllt das Anfangswertproblem

 

Beweis

Da alle Ableitungen   stetig sind nach Voraussetzung für   sind sie beschränkt auf dem kompakten   und insbesondere integrierbar mit integrierbarer Majorante. Damit kann man Integral und Ableitung vertauschen Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung

To-Do:

t-Abhängigkeit irrelevant?

Wegen der Linearität der Zeitableitung ergeben sich die Anfangswerte. Durch Einsetzen von   ergibt sich der Randwert. Wie im letzten Beweisschritt des vorherigen Satzes bewiesen, gilt

 

Herleitung der Kirchhoffschen FormelBearbeiten

Wir wollen das Spiegelungsrpinzip verwenden aus dem letzten Kapitel Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Formel_von_d'Alembert und müssen dazu die Voraussetzungen zeigen: Da   stetig ist in   gilt

 

Außerdem gilt

 

und

 

Damit können wir das Spiegelungsprinzip aus Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Formel_von_d'Alembert verwenden und erhalten für  

 

Da   stetig ist, finden wir eine Lösung für   gemäß

 

Wir berechnen nun das linke Integral und überführen mittels der Transformation

 

die  -Abhängigkeit der Integralgrenzen auf den Integranden, leiten ab und transformieren wieder zurück

 

Das ergibt die Kirchhoffsche Formel für Dimenson  

 

Die Kirchhoffsche Formel als Lösung für Dimension n=3Bearbeiten

Satz

Seien   und   definiert durch

 

Dann gelten

 

Es tritt also ein Verlust an Regularität ein: aus   wird  .

  hängt nur von den Anfangsdaten   auf der Sphäre   ab, das wird für den Fall   ganz anders sein.

Beweis

a) Mit der Transformationsformel bringt man die  -und  -Abhängigkeit aus den Integralgrenzen auf den Integranden und da   kompakt ist, kann man Integral und Ableitung vertauschen. Die Transformation lautet

 

b) 1. Schritt: Sei  . Dann gilt mit der Transformation  

 

und die Anfangswertbedingungen

 

wegen der Stetigkeit von  

 

Wir berechnen weiter mit dem Satz von Gauß

 

Daraus berechnen wir die zweite zeitliche Ableitung zu (der erste und dritte Integralterm heben sich weg, siehe Rechnung oben)

 

Die letzte Gleichheit gilt, da   kompakt ist und   zweimal stetig differenzierbar ist. Das Ergebnis gilt für alle  .

2.) Schritt: Sei nun  . Definiere

 

Aus Schritt 1 gilt dann

 

zudem gilt

 

Die Wellengleichung ist erfüllt wegen

 

Da der erste Term nach Transformation ein Mittelwertintegral ergibt   und das zweite Integral beschränkt ist, gilt

 

Damit erhalten wir automatisch auch

 

und wegen  

 

Insgesamt gilt

 

Die Aussage folgt mit der Linearität der Wellengleichung: Die Summe der Terme aus Schritt 1. und 2. erfüllt weiterhin die Wellengleichung (da diese linear ist) und sie erfüllt beide Randbedingungen.