Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Greensche Funktion für den Halbraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten daraufhin die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind. Wir hatten dann Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen gezeigt und mit diesen bewiesen, dass harmonische Funktionen analytisch sind, sich also lokal durch ihre Taylorreihe darstellen lassen. Im letzten Kapitel haben wir eine Lösungsformel für das Dirichletproblem der Poissongleichung

 

mittels der Greenschen Funktion   ermittelt und leiten nun die Greensche Funktion für den Halbraum her, d.h. für

 

Die Ergebnisse des letzten Kapitels sind zwar nicht anwendbar, da der Halbraum nicht beschränkt ist, vermitteln uns aber eine Idee, wie die Formeln aussehen könnten. Wir nutzen - wie im nächsten Kapitel und wie so oft in der Mathematik - die Symmetrie aus und definieren für ein   die Spiegelung am Rand   durch

 

Die Greensche Funktion für den HalbraumBearbeiten

Satz

Die Greensche Funktion für den Halbraum ist

 

mit der Fundamentallösung   der Laplacegleichung und sie ist symmetrisch.

Beweis

Seien  . Auf   ist die letzte Komponente Null   und somit gilt

 

Sei   beliebig. Die Singularität in   hindert uns daran,   zu wählen für  . Wir suchen nun eine harmonische Funktion, die am Rand   ebenfalls die Werte   annimmt und das ist genau die Spiegelung! Damit transportieren wir die Singularität aus dem Gebiet heraus in   und erhalten eine Lösung der Poissongleichung auf  , die nun auch in   definiert ist und dort keine Singularität hat.

 

und die Greensche Funktion

 

Wegen

 

und da   nur vom Betrag des Argumentes abhängt siehe Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Eigenschaften_der_Fundamentallösung ist   symmetrisch

 

Wir hatten im letzten Kapitel eine Darstellung der Lösung der Randwertaufgabe

 

für beschränkte Gebiete   und existierende Greensche Funktion hergeleitet

 

Das ist nicht direkt anwendbar, da   unbeschränkt ist, aber wir verwenden es als Intuition, wie die Lösungsformel aussehen könnte für  . Wir haben im Kapitel der Fundamentallösung Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Eigenschaften_der_Fundamentallösung den Gradienten von P berechnet zu

 

Damit folgt

 

und für   folgt wegen  

 

Wenn   eine beschränkte Lösung der Randwertaufgabe

 

ist, hoffen wir, dass gemäß der Darstellungsformel der letzten Kapitels gilt

 

Diese Formel heißt Poisson-Formel für den Halbraum. Für   ist der Poisson-Kern für den Halbraum definiert durch

 

Im nächsten Satz zeigen wir, dass das tatsächlich die richtige Lösungsformel ist!

Die Lösung der Poissongleichung für den HalbraumBearbeiten

Satz

Sei   und sei   gegeben durch die Poíssonformel für den Halbraum.

 

Dann gelten

a)  

b)   in  

c)   für jedes  .

Beweis

Das Integral über   ist   und   ist beschränkt:

 

Für   erhalten wir

 

Für   erhalten wir durch Einführen von Polarkoordinaten

 

Mit den Substitutionen

 

folgt mit der Definition der Betafunktion   und der Beziehung zur Gammafunktion  , die wir im nächsten Kapitel nachtragen

 

Mit der Beziehung

 

die wir ebenfalls im nächsten Kapitel beweisen, folgt mit den Eigenschaften der Gammafunktion des nächsten Kapitels

 

Da   beschränkt ist, folgt hiermit dass   beschränkt ist

 

  ist harmonisch:

Sei  . Setze  . Wir müssen berechnen

 

Wegen der Symmetrie von   gilt

 

Das ergibt

 

und   ist harmonisch!

Damit ist   unendlich oft differenzierbar. Wenn wir Integral und Ableitung vertauschen können, sind wir fertig:

 

und   wird automatisch unendlich oft differenzierbar  .

Wir müssen zeigen, dass die Ableitungen durch integrierbare Funktionen majorisiert werden (da   beschränkt ist), siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung#Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung Die partiellen Ableitungen sind

 

Da   beschränkt ist, genügt es die Integrale obiger beider Terme zu betrachten:

 

Für   können wir nur die lokale Integrierbarkeit zeigen

 

Für   teilen wir die Integration auf und verwenden erneut Polarkoordinaten im   mit der identischen Rechnung wie oben für das innere Integral. Damit erhalten wir ebenfalls nur lokale Integrierbarkeit

 

Für die Abschätzung des Integrales der zweiten partiellen Ableitung verwenden wir beim ersten Term erneut Polarkoordinaten, erhalten eine Konstante für das Integral über   und integrieren dann

 

Den zweiten Term haben wir schon bei der Berechnung des Integrales über   betrachtet.

To-Do:

prüfen, ggf. ausführlicher?

Damit lässt sich für jedes   das gesuchte Integral über   mit den Ableitungen vertauschen und der Integrand ist jedes Mal identisch Null. Damit wird das gesamte Integral identisch Null.

  geht stetig gegen die Randwerte:

Sei   ein beliebiger Randpunkt und  . Da   stetig ist auf dem Rand, gibt es ein   sodass für alle Randpunkte   mit   gilt

 

Dann gilt für ein   aus dem Halbraum mit  , wobei wir das Integral im letzten Schritt aufteilen

 

Das erste Integral können wir einfach gegen   abschätzen

 

Für das zweite Integral   benötigen wir eine Abschätzung: Aus

 

folgt

 

Damit berechnet sich   zu

 

Sei nun  : In Polarkoordinaten auf dem  -dimensionalen   gilt für hinreichend kleine  

 

Sei nun  . Mit   erhalten wir erneut für hinreichend kleine  

 

Damit gilt   für jedes