Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Der Satz über majorisierte Konvergenz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


MotivationBearbeiten

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien   Messräume. Wir definierten eine Abbildung   als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra   auf Mengen der Sigma-Algebra   abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen   als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen   monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist.

In diesem Kapitel zeigen wir den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante   zu der messbaren Funktionenfolge   gibt, d.h.  , dann lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Dazu beweisen wir vorher einen Hilfssatz, für dessen Beweis wir wie erwartet den Satz über monotone Konvergenz benutzen.

Das Lemma von FatouBearbeiten

Satz (Lemma von Fatou)

Seien   und für alle   integrierbar.

a) Für   gelte  . Dann folgt

 

b) Ist   integrierbar und  , gilt ebenfalls

 

c) Für   gelte  . Dann folgt

 

d) Ist   integrierbar und  , gilt ebenfalls

 

Beweis (Lemma von Fatou)

a):

Da das Infiumum über eine Menge immer kleiner gleich einem seiner Elemente ist

 

ergibt sich mit der Monotonie des Integrales

 

Das Kleiner-Gleich-Zeichen gilt für alle  , also bleibt es erhalten, wenn man rechts zum Infiumum übergeht und auch wenn man zum Grenzwert übergeht

 

Da das Infiumum über eine größere Menge automatisch kleiner gleich dem Infimum über die darin enthaltene kleinere Menge ist

 

ist   monoton steigend. Zudem ist es größer gleich Null und wir können den Satz über monotone Konvergenz anwenden Mathe_für_Nicht-Freaks:_Der_Satz_über_monotone_Konvergenz und Grenzwert und Integral vertauschen. Zudem setzen wir obige Formel ein und erhalten

 

b):

Wir wollen a) anwenden und benötigen dazu nicht-negative Funktionen. Diese erhalten wir, indem wir die integrierbaren   betrachten. a) ergibt gemeinsam mit der Additivität des Integrales für integrierbare Funktionen, da   integrierbar nach Voraussetzung

 

Addieren von   auf beiden Seiten ergibt

 

c):

Auch hier wollen wir a) anwenden und betrachten deshalb  . Wegen der Rechenregel

 

und da   gilt mit a) und da man für integrierbare Funktionen den Skalar   mit dem Integral vertauschen kann

 

d):

Wir wollen b) anwenden. Betrachte dazu  . Die Funktionen   sind integrierbar und es gilt  . Zudem ist

 

nach Voraussetzung ebenfalls integrierbar. Weil man für integrierbare FUnktionen den Skalar   mit dem Integral vertauschen kann, folgt mit b)

 

Der Satz über majorisierte KonvergenzBearbeiten

Und jetzt der wichtigste Grenzwertsatz für das Maßintegral.

Satz (Satz über majorisierte Konvergenz)

Ist   integrierbar und   messbar mit   und  , d.h. g Majorante, so existiert der Grenzwert der Integrale   und Integral und Grenzwert lassen sich vertauschen

 

Beweis (Satz über majorisierte Konvergenz)

Wir wenden das Lemma von Fatou an, d.h. indirekt den Satz über monotone Konvergenz. Wegen   sind alle   und   integrierbar, da

 

Damit lässt sich der gerade gezeigte Satz einfach anwenden, da   allgemein gilt

 

Aufgabe: Gleichmäßige KonvergenzBearbeiten

Aufgabe (Ein Grenzwertsatz bei gleichmäßiger Konvergenz)

Sei   Maßraum und   endlich. Seien   integrierbar und   gehe gleichmäßig gegen  .

a) Dann ist   integrierbar und  

b) Die Endlichkeits-Bedingung an   ist notwendig.

c) Welche Bedingung vom Satz über majorisierte Konvergenz ist bei b) verletzt?

Wie kommt man auf den Beweis? (Ein Grenzwertsatz bei gleichmäßiger Konvergenz)

b) Betrachte ein wanderndes zerfließendes Rechteck und nutze die Sigma-Endlichkeit von  .

Beweis (Ein Grenzwertsatz bei gleichmäßiger Konvergenz)

a) Da   gleichmäßg gegen   geht, gibt es ein   mit

 

Damit folgt mit  

 

und somit ist   integrierbar. Wegen

 

gilt  .

b) Betrachte  

 
To-Do:

Bild einfügen?

Das ist ein nach rechts wanderndes Rechteck, das immer flacher, aber auch immer breiter wird, sodass die Fläche darunter   bleibt (man könnte die Fläche darunter auch gegen Unendlich streben lassen, indem man es schneller breiter werden lässt). Dann gilt

 

Die   gehen punktweise gegen  , da das Rechteck irgendwann an jedem festen   vorbeizieht. Sie gehen gleichmäßig dagegen, da  . Damit ist   integrierbar, aber

 

c) Es gibt keine integrierbare Majorante. Die Majorante wäre mindestens   und deren Integral ist unendlich, da die   auf disjunkten Mengen Werte ungleich Null haben.