Anwendungsbeispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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To-Do:

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Dabei werden unter anderem folgende Fragen untersucht:[1]

  • Gibt es eine Lösung des Gleichungssystems (Existenz der Lösung)?
  • Gibt es eine eindeutige Lösung des Gleichungssystems (Eindeutigkeit der Lösung)?
  • Gibt es mehrere (unendlich viele) Lösungen des Gleichungssystems?

Jede Lösung eines Gleichungssystems muss zugleich auch Lösung von jeder einzelnen Gleichung sein. Die Gleichungssysteme werden wir später genau untersuchen.

GeradengleichungenBearbeiten

Die linearen Gleichungssysteme haben auch einen starken Bezug zur Geometrie. Stell dir zwei Geraden g und h im dreidimensionalen Raum vor. Für ihr Verhalten zueinander gibt es dann vier Möglichkeiten. Die beiden Geraden

  • schneiden sich in einem Punkt (eindeutige Lösung).
  • fallen vollständig zu einer Geraden zusammen (unendlich viele Lösungen).
  • sind parallel und haben somit keinen Schnittpunkt (keine Lösung).
  • sind windschief, also weder schneidend noch parallel (keine Lösung).

Seien   und   zwei Geraden durch den Punkt   bzw. durch den Punkt   und den Richtungsvektoren   bzw.   mit den laufenden Skalaren  .

Zwei sich schneidende Geraden[1]Bearbeiten

Seien   und   zwei gegebene Geraden.

Wollen wir prüfen, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben, müssen wir die beiden Geraden gleichsetzen, wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:

 

Dieses Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung   und   und somit einen Schnittpunkt  .

Durch Einsetzen der Koordinaten von S in die Gleichungen von g und h sieht man   und  .

Zwei windschiefe Geraden[1]Bearbeiten

Seien nun  

und  

Wir wollen wieder untersuchen, ob sie einen Schnittpunkt haben. Wir erhalten damit das folgende Gleichungssystem:

 

Aus der Gleichung   ergibt sich  . Eingesetzt in die Gleichung I erhalten wir  . Diese Gleichung ist aber nur für   erfüllt. Damit ist auch  .

Für die Gleichung II würde das bedeuten  , was offensichtlich ein Widerspruch ist.

Also haben die beiden Geraden keinen Schnittpunkt und ihre beiden Richtungsvektoren sind offensichtlich nicht kollinear[2], damit sind die Geraden g und h windschief.