Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/ Eigenschaften des euklidischen Vektorraums

Der dreidimensionale euklidische Koordinatenraum Bearbeiten

Den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum   mit seinem kartesischen Koordinatensystem kennst du sicherlich auch aus der Schule. Wir wollen diesen Vektorraum hier etwas genauer unter die Lupe nehmen.

Der 3-dimensionale reelle Koordinatenraum   ist die Menge der 3-Tupel   wobei die   reelle Zahlen sind. Man bezeichnet die Elemente des   als Vektoren oder als Punkte. Wir schreiben die Elemente des   in der dir sicherlich geläufigen Form  

Mit folgender Vektoraddition und S-Multiplikation wird   zu einem Vektorraum (siehe auch [1])

Sei  

Das Skalarprodukt ist definiert durch

 .

Damit wir dem Skalarprodukt zweier Vektoren eine reele Zahl, eben ein Skalar zugeordnet.

Mit diesem Skalarprodukt ist der   ein euklidischer Vektorraum.

Geometrisch kann das Skalarprodukt zweier Vektoren   definiert werden durch:

Seien   und   die Längen der Vektoren   und   und bezeichne   den von   und   eingeschlossenen Winkel, so ist

 

Bemerkungen Bearbeiten

Ist   dann ist   und die Vektoren   sind parallel und gleichgerichtet. Es gilt  

Ist   dann ist   und die Vektoren   sind orthogonal.

Hinweis

Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich  , dann stehen die Vektoren aufeinander senkrecht.

Länge eines Vektors Bearbeiten

Sei  

Der euklidische Vektorraum ist zunächst der Raum unserer Anschauung, als der  . Den   nennt man auch die euklidische Ebene. Im Abschnitt Euklidischer Raum findest Du eine detaillierte Darstellung des euklidischen Vektorraums und seiner Eigenschaften. Studiere also dort die euklidischen Vektorräume.

  1. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Was_ist_lineare_Algebra%3F#Vektorr.C3.A4ume