Den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} mit seinem kartesischen Koordinatensystem kennst du sicherlich auch aus der Schule. Wir wollen diesen Vektorraum hier etwas genauer unter die Lupe nehmen.
Der 3-dimensionale reelle Koordinatenraum R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ist die Menge der
3-Tupel x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})} wobei die x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} reelle Zahlen sind.
Man bezeichnet die Elemente des R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} als Vektoren oder als Punkte. Wir schreiben die Elemente des R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} in der dir sicherlich geläufigen Form ( x 1 x 2 x 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}}
Mit folgender Vektoraddition und S-Multiplikation wird R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} zu einem Vektorraum (siehe auch [1] )
Sei x → = ( x 1 x 2 x 3 ) ; y → = ( y 1 y 2 y 3 ) ; x → + y → = ( x 1 x 2 x 3 ) + ( y 1 y 2 y 3 ) = ( x 1 + y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 ) ; ρ ⋅ x = ρ ⋅ ( x 1 x 2 x 3 ) = ( ρ x 1 ρ x 2 ρ x 3 ) {\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}};{\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}};{\vec {x}}+{\vec {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}};\rho \cdot x=\rho \cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho x_{1}\\\rho x_{2}\\\rho x_{3}\end{pmatrix}}}
Das Skalarprodukt ist definiert durch
x → ⋅ y → = ( x 1 x 2 x 3 ) ⋅ ( y 1 y 2 y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}} .Damit wir dem Skalarprodukt zweier Vektoren eine reele Zahl, eben ein Skalar zugeordnet.
Mit diesem Skalarprodukt ist der R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ein euklidischer Vektorraum.
Geometrisch kann das Skalarprodukt zweier Vektoren a → ; b → {\displaystyle {\vec {a}};{\vec {b}}} definiert werden durch:
Seien a = | a → | {\displaystyle a=|{\vec {a}}|} und b = | b → | {\displaystyle b=|{\vec {b}}|} die Längen der Vektoren a → {\displaystyle {\vec {a}}} und b → {\displaystyle {\vec {b}}} und bezeichne φ = ∢ ( a → , b → ) {\displaystyle \varphi =\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})} den von a → {\displaystyle {\vec {a}}} und b → {\displaystyle {\vec {b}}} eingeschlossenen Winkel, so ist
a → ⋅ b → = | a → | | b → | cos ∢ ( a → , b → ) = a b cos φ . {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})=a\,b\,\cos \varphi .}
Ist φ = 0 ∘ {\displaystyle \varphi =0^{\circ }} dann ist cos φ = 1 {\displaystyle \cos \varphi =1} und die Vektoren a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} sind parallel und gleichgerichtet. Es gilt a → ⋅ b → = | a → | | b → | {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|}
Ist φ = 90 ∘ {\displaystyle \varphi =90^{\circ }} dann ist cos φ = 0 {\displaystyle \cos \varphi =0} und die Vektoren a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} sind orthogonal.
Hinweis
Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich 0 {\displaystyle 0} , dann stehen die Vektoren aufeinander senkrecht.
Sei x → = ( x 1 x 2 x 3 ) ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}}
Der euklidische Vektorraum ist zunächst der Raum unserer Anschauung, als der R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . Den R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} nennt man auch die euklidische Ebene. Im Abschnitt Euklidischer Raum findest Du eine detaillierte Darstellung des euklidischen Vektorraums und seiner Eigenschaften. Studiere also dort die euklidischen Vektorräume.
↑ https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Was_ist_lineare_Algebra%3F#Vektorr.C3.A4ume