Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/ Eigenschaften des euklidischen Vektorraums

Der dreidimensionale euklidische Koordinatenraum

Den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ mit seinem kartesischen Koordinatensystem kennst du sicherlich auch aus der Schule. Wir wollen diesen Vektorraum hier etwas genauer unter die Lupe nehmen.

Der 3-dimensionale reelle Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{3}$ ist die Menge der 3-Tupel $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ wobei die $x_{1},x_{2},x_{3}$ reelle Zahlen sind. Man bezeichnet die Elemente des $\mathbb {R} ^{3}$ als Vektoren oder als Punkte. Wir schreiben die Elemente des $\mathbb {R} ^{3}$ in der dir sicherlich geläufigen Form ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

Mit folgender Vektoraddition und S-Multiplikation wird $\mathbb {R} ^{3}$ zu einem Vektorraum (siehe auch )

Sei ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}};{\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}};{\vec {x}}+{\vec {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}};\rho \cdot x=\rho \cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho x_{1}\\\rho x_{2}\\\rho x_{3}\end{pmatrix}}$

Das Skalarprodukt ist definiert durch

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}$.

Damit wir dem Skalarprodukt zweier Vektoren eine reele Zahl, eben ein Skalar zugeordnet.

Mit diesem Skalarprodukt ist der $\mathbb {R} ^{3}$ ein euklidischer Vektorraum.

Geometrisch kann das Skalarprodukt zweier Vektoren ${\vec {a}};{\vec {b}}$ definiert werden durch:

Seien $a=|{\vec {a}}|$ und $b=|{\vec {b}}|$ die Längen der Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ und bezeichne $\varphi =\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})$ den von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ eingeschlossenen Winkel, so ist

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})=a\,b\,\cos \varphi .$

Bemerkungen

Ist $\varphi =0^{\circ }$ dann ist $\cos \varphi =1$ und die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}}$ sind parallel und gleichgerichtet. Es gilt ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|$

Ist $\varphi =90^{\circ }$ dann ist $\cos \varphi =0$ und die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}}$ sind orthogonal.

Hinweis

Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich $0$, dann stehen die Vektoren aufeinander senkrecht.

Länge eines Vektors

Sei ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$

Der euklidische Vektorraum ist zunächst der Raum unserer Anschauung, als der $\mathbb {R} ^{3}$. Den $\mathbb {R} ^{2}$ nennt man auch die euklidische Ebene. Im Abschnitt Euklidischer Raum findest Du eine detaillierte Darstellung des euklidischen Vektorraums und seiner Eigenschaften. Studiere also dort die euklidischen Vektorräume.