Übersicht zu algebraischer Strukturen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Abstraktion: Was ist das?Bearbeiten

  • Strukturen -> Abstraktionsprozess
  • Intuitiv: Was ist Abstraktion?

Gruppe (ggf nur abelsch)Bearbeiten

  • Algebra untersucht Strukturen, die sich in gewissen Aspekten ähnlich verhalten wie das Rechnen mit Zahlen (Addition / Multiplikation)
  • Solche Strukturen anschauen:
    • Rechnen in der Uhr -> ähnlich wie mit ganzen Zahlen, aber andere Struktur
    • Symmetrieabbildungen im Dreieck ähnlich zu erklären, wie bei der Uhr mit drei Ziffern
    • Andere Symmetriegruppen?!
    • Drehungen / Rotationen
  • Gewisse Gemeinsamkeiten / gewisse Unterschiede
  • Aus den Gemeinsamkeiten -> Definition der Gruppe
  • Mit Kommutativität: abelsche Gruppe
  • Metapher mit Nägel (Z^n)?

AssoziativitätBearbeiten

  • Vorstellung: Bretter verkleben oder verbinden
  • Farbmischung
  • Verpacken
  • Was ist nicht assoziativ? -> Potenzen

Begriff der AbgeschlossenheitBearbeiten

  • erklären

Beispiel ganze ZahlenBearbeiten

  • Ganze Zahlen abelsche Gruppe mit Addition, aber nicht mit Multiplikation
  • Null ist nicht das neutrale Element -> multiplikative Gruppen

Ausblick: Endliche Gruppen sind Untergruppen von S_nBearbeiten

UntergruppeBearbeiten

  • triviale Gruppen
  • Monomorphismen

BeweiseBearbeiten

  • Eindeutigkeit des neutralen Elements

RingBearbeiten

KörperBearbeiten

Diverses / AnmerkungenBearbeiten

  • negative Beispiele sind wichtig.
  • Z als Gruppe bei Addition / keine Gruppe bei Multiplikation -> Für Multiplikation muss man auf Q^* gehen
  • "Es erweist sich als nützlich, über Gruppen / Ringe / etc. zu nennen."

Alter Inhalt aus Artikel "Vektorraum"Bearbeiten

To-Do:

zu verwirrend, sollte überarbeitet werden

Bevor wir Vektorräume kennengelernt haben, waren wir bereits mit den algebraischen Strukturen Gruppe, Ring und Körper vertraut. Wir wollen uns jetzt überlegen, wie diese mit Vektorräumen zusammenhängen. Dazu betrachten wir den allgemeinen Vektorraum  . Da nur die Vektoraddition, aber nicht die Skalarmultiplikation eine innere Verknüpfung darstellt, kann nur   überhaupt eine solche algebraische Struktur sein. Die einzige der drei Strukturen mit nur einer Verknüpfung ist die Gruppe. Sieht man sich die Axiome der Vektoraddition an, so stellt man fest, dass diese genau den Axiomen einer Gruppe, die kommutativ ist, entsprechen. Also ist   eine abelsche Gruppe.

Wir können dieser abelschen Gruppe eine zweite Verknüpfung   hinzufügen, also den Raum   betrachten. Diese Verknüpfung " " kann eine innere oder eine äußere Verknüpfung sein. Die innere Verknüpfung   bildet zwei Elemente aus   auf wiederum ein Element aus   ab. Ist sie zusätzlich assoziativ und sind mit ihr für alle   die beiden Distributivgesetze   und   erfüllt, so bildet   einen Ring. Spricht man über Ringe, bezeichnet man die Menge für gewöhnlich mit   anstelle von  , schreibt also   für einen Ring. Ist   sogar eine abelsche Gruppe, so handelt sich bei   um einen Körper. Für einen Körper schreiben wir üblicherweise  .

Als Verknüpfung " " fügen wir der abelschen Gruppe   nun die äußere Verknüpfung   hinzu, wobei   ein Körper ist. Diese ist eine äußere Verknüpfung, da die Menge   keine Teilmenge von   ist, die Elemente von   also "von außen" kommen. Erfüllt diese Verknüpfung die in der obigen Definition genannten Axiome der skalaren Multiplikation, so ist   ein Vektorraum. An dieser Stelle begegnet uns trotzdem die algebraische Struktur "Körper": Damit wir Vektoren in gewohnter Weise skalieren können, ist es notwendig, dass der Skalar Element eines Körpers ist.