Äußere direkte Summe und direktes Produkt – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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MotivationBearbeiten

  • Beispiel: Wetterdienst hat mehrere Messpunkte
  • Speichert zu jedem Messpunkt Temperatur und Windrichtung in zwei getrennten Listen
  • die eine Liste hat Einträge in R, die andere in R^2
  • Idee: beide Listen in eine Liste kombinieren
  • Welche Einträge muss die Liste haben?
  • Um das zu speichern, braucht man also ein 2-Tupel bestehend aus einer Zahl und einem 2-Tupel
  • Man kombiniert 2 Vektorräume zu einem neuen, und zwar auf die kleinst-mögliche Weise, sodass man alle Informationen unabhängig speichern kann

ODER:

  • Beispiel: Mehrteilchensystem
  • Man betrachte die Position von   Teilchen im drei-dimensionalen Raum.
  • Diese Situation kann durch den Vektorraum   dargestellt werden.
  • Durch Hinzunahme eines weiteren Teilchens zur Betrachtung, muss der Vektorraum vergrößert werden, ohne dass die bereits bestehende Vektorraumstruktur verloren geht.
  • Dies kann man durch das direkte Produkt des Vektorraums   mit dem Vektorraum  , der das neu hinzukommende Teilchen modelliert, realisiert werden.

ODER:

Konto oder Rezepte

ODER:

Lineare Abbildung R nach R + eine Verschiebung ergibt die affin-linearen Abbildungen. Außerdem darauf hinweisen, dass diese Dinger in der Schule schlechterweise als "lineare Abbildungen" bezeichnet werden.

DefinitionBearbeiten

Wir definieren die direkte Summe von zunächst endlich vielen  -Vektorräumen.

Definition (Äußere direkte Summe)

Sei   ein Körper,   und seien    -Vektorräume. Die äußere direkte Summe von   ist definiert durch

 

zusammen mit der Addition

 

und der Multiplikation

 

Hinweis

Die Vektorräume   in der Definition sind in der Regel verschieden. Die Addition der direkten Summe wird definiert über die verschiedenen Additionen der  . Analoges gilt für die Skalarmultiplikation.

Hinweis

Im Fall   ist die direkte Summe der triviale  -Vektorraum  .

Definition (Kurzschreibweise falls alle Vektorräume gleich sind)

Gilt   für alle  , wobei   ein  -Vektorraum ist, (d.h. alle Vektorräume sind gleich), so schreiben wir auch

 

Die direkte Summe ist ein VektorraumBearbeiten

Satz (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)

Die direkte Summe bildet mit den oben definierten Operationen einen Vektorraum

Wie kommt man auf den Beweis? (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen, in dem wir der Reihe nach die 8 Vektorraumaxiome prüfen.

Die Definition von   ist genau so gewählt, dass sich die Operationen   der Vektorräume   "auf natürliche Weise auf   übertragen".

Beweis (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)

Wir werden die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien  . Dann gilt:

 

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien  . Dann gilt:

 

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen noch zeigen, dass es ein neutrales Element   gibt, für das gilt

  für alle  

Da wir alle Eigenschaften auf die entsprechenden Eigenschaften in   zurückführen, nutzen wir hier das neutrale Element der Addition  , um das neutrale Element der Addition   zu konstruieren. Also setzen wir

 

Wir müssen noch die Neutralität des neutralen Elements der Addition prüfen, also  :

Dazu sei  . Dann gilt:

 

Damit haben wir gezeigt, dass   das neutrale Element der Addition ist.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei  . Wir müssen zeigen, dass es ein   gibt, sodass  .

Wir wollen dieses Problem wieder auf die Eigenschaften der Rechenoperationen in   zurückführen. In   gilt, wenn   und  , dann ist  . Daher wählen wir für   das  -Tupel   als potenzielles Inverses. Dann gilt:

 

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen   ein   gibt mit  .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien   und  . Dann gilt:

 

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien   und  . Dann gilt:

 

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien   und  . Dann gilt:

 

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei  . Dann gilt:

 

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist   ein  -Vektorraum.

Universelle EigenschaftBearbeiten

  • Fordwardlink zu linearen Abbildungen
  • Hinweis, dass dieses Thema eher more advanced ist
  • MOTIVATION!!!!

Sei   und seien    -Vektorräume.

Definition (Projektionsabbildungen)

Für   definieren wir die Projektionsabbildung

 

Satz (Die Projektionsabbildungen sind linear und surjektiv)

Sei  . Dann ist die Projektionsabbildung   linear und surjektiv.

Beweis (Die Projektionsabbildungen sind linear und surjektiv)

Sei  . Wir zeigen zunächst die Linearität von  .

Beweisschritt: Linearität

Wir müssen die Additivität und die Homogenität von   zeigen.

Beweisschritt: Additivität

Seien  . Dann gilt

 

Beweisschritt: Homogenität

Sei   und   Dann gilt

 

Nun zeigen wir noch, dass   surjektiv ist.

Beweisschritt: Surjektivität

Sei dazu  . Setze für alle  

 

Dann ist  , und es gilt  . Also ist   surjektiv.

Definition (Inklusionsabbildungen)

Für   definieren wir die Inklusionsabbildung

 

Satz (Die Inklusionsabbildungen sind linear und injektiv)

Sei  . Dann ist die Inklusionsabbildung   linear und injektiv.

Beweis (Die Inklusionsabbildungen sind linear und injektiv)

Sei  . Wir zeigen zunächst die Linearität von  .

Beweisschritt: Linearität

Wir müssen die Additivität und die Homogenität von   zeigen.

Beweisschritt: Additivität

Seien  . Dann gilt

 

Beweisschritt: Homogenität

Sei   und   Dann gilt

 

Nun zeigen wir noch, dass   injektiv ist.

Beweisschritt: Injektivität

Es genügt zu zeigen, dass für den Kern gilt   Sei dazu  . Dies bedeutet, dass  . Es folgt also sofort, dass   gilt. Also ist   und damit   injektiv.

Satz (Universelle Produkteigenschaft der direkten Summe)

Sei   ein  -Vektorraum. Angenommen, wir haben lineare Abbildungen   für alle  .

Dann existiert genau eine lineare Abbildung   sodass   für alle  .

Beweis (Universelle Produkteigenschaft der direkten Summe)

Wir müssen die Eindeutigkeit und Existenz solcher Abbildungen   zeigen.

Beweisschritt: Eindeutigkeit

Angenommen, wir haben eine solche Abbildung  . Sei   beliebig. Sei   das Bild von   unter  . Das bedeutet,   für alle  . Da  , gilt also   für alle  . Somit sind die   also bereits durch die Abbildungen   eindeutig bestimmt. Dies zeigt die Eindeutigkeit der Abbildung  .

Die einzige Abbildung, die also in Frage kommt, ist gegeben durch  . Wir müssen nun noch nachprüfen, dass diese Abbildung eine lineare Abbildung ist, und dass sie die Bedingung   auch tatsächlich erfüllt für alle  .

Beweisschritt: Linearität der gefundenen Abbildung  

Wir zeigen Additivität und Homogenität

Beweisschritt: Additivität

Seien   in  . Dann gilt

 

Beweisschritt: Homogenität

Sei   in   und  . Dann gilt

 

Beweisschritt:   für alle  .

Sei  . Sei  . Dann gilt

 

Das zeigt die Behauptung.

Satz (Universelle Koprodukteigenschaft der direkten Summe)

Sei   ein  -Vektorraum. Angenommen, wir haben lineare Abbildungen   für alle  .

Dann existiert genau eine lineare Abbildung   sodass   für alle  .

Beweis (Universelle Koprodukteigenschaft der direkten Summe)

Wir müssen die Eindeutigkeit und Existenz solcher Abbildungen   zeigen.

Beweisschritt: Eindeutigkeit

Angenommen, wir haben eine solche Abbildung  . Sei   beliebig. Sei   das Bild unter  . Man kann sich leicht überlegen, dass

 

Da  , gilt also

 

Somit ist   also bereits durch die Abbildungen   eindeutig bestimmt. Dies zeigt die Eindeutigkeit der Abbildung  .

Die einzige Abbildung, die also in Frage kommt, ist gegeben durch  . Wir müssen nun noch nachprüfen, dass diese Abbildung eine lineare Abbildung ist, und die geforderten Bedingungen erfüllt.

Beweisschritt: Linearität der gefundenen Abbildung  

Wir zeigen Additivität und Homogenität

Beweisschritt: Additivität

Seien   in  . Dann gilt

 

Beweisschritt: Homogenität

Sei   in   und  . Dann gilt

 

Beweisschritt:  

Sei also   und  . Setze für alle  

 

Dann gilt

 

Also ist  .

Satz (Die direkte Summe wird durch die Produkteigenschaft charakterisiert)

Sei   ein  -Vektorraum, zusammen mit linearen Abbildungen   für alle  , sodass   die Produkteigenschaft erfüllt.

Dann gibt es genau einen Isomorphismus   sodass gilt   für alle  .

Beweis (Die direkte Summe wird durch die Produkteigenschaft charakterisiert)

To-Do:

Muss man machen

Satz (Die direkte Summe wird durch die Koprodukteigenschaft charakterisiert)

Sei   ein  -Vektorraum, zusammen mit linearen Abbildungen   für alle  , sodass   die Koprodukteigenschaft erfüllt.

Dann gibt es genau einen Isomorphismus   sodass gilt   für alle  .

Beweis (Die direkte Summe wird durch die Koprodukteigenschaft charakterisiert)

To-Do:

Muss man machen

  • Bemerkung: man nennt das universelle Eigenschaft, weil man das auch bis auf "kanonische Isomorphie" zur Definition verwenden könnte

Beziehung zur inneren direkten SummeBearbeiten

Wir haben nun zwei Konzepte mit der Bezeichnung "direkte Summe" kennengelernt: Die äußere direkte Summe und die innere direkte Summe. Beide haben wir auch mit dem Symbol   notiert. Das ist kein Zufall. Wir wollen nun erklären, warum. Tatsächlich sind diese Konzepte in gewisser Weise äquivalent. Wir wollen dies im Fall endlicher Indexmengen genauer erläutern.

Wir haben gesehen, dass es injektive Einbettungsabbildungen   gibt. Über diese Abbildungen können wir Unterräume   definieren. Es gilt dabei   via  .

Dann gilt:

Satz (Innere und äußere direkte Summe)

 , wobei wir links die innere direkte Summe der Unterräume   und rechts die äußere direkte Summe der Vektorräume   betrachten.

Beweis (Innere und äußere direkte Summe)

Wir müssen zeigen, dass  , sowie die verallgemeinerte Schnittbedingung: Für alle   gilt  .

Beweisschritt:  

Die Inklusion   ist klar, da die   Unterräume der rechten Seite sind.

Sei also nun  . Dann existieren  , sodass  . Sei   für alle  . Dann gilt  .

Beweisschritt: Verallgemeinerte Schnittbedingung

Sei  . Sei  . Wir wollen zeigen, dass   gilt. Dazu reicht es, zu zeigen, dass alle   sind. Da   liegt, gilt  . Daraus folgt sofort, dass   für  . Andererseits ist  , woraus auch   folgt.

Damit folgt die Behauptung.

Beispiele & AufgabenBearbeiten

Beispiel (Koordinatenraum)

Wir haben bereits den Koordinatenraum gesehen. Diesen kann man auch als direkte Summe, bei der alle Summanden gleich   sind, auffassen. Es gilt also

 

Dies sieht man, indem man die Definitionen vergleicht.

Beispiel (Parametrisierung von Strecken)

Eine gerichtete Strecke im   lässt sich durch ihren Start- und ihren Endpunkt charakterisieren. Diese beiden Punkte sind Elemente von  . Die Menge aller gerichteten Strecken ist also parametrisiert durch die direkte Summe  .

Beispiel (Computerspiele)

Wir betrachten ein Online-Computerspiel, bei dem jeder Spieler eine 2D-Position hat. Wenn 100 Spieler online sind, können wir die Positionen aller Spieler als ein Element von   auffassen. Es ist üblich, dass nicht mehrmals pro Sekunde die Positionen aller Spieler neu übertragen werden, sondern stattdessen die Veränderung ihrer Position. Dies ist wiederum ein Element von  . Addiert man es (im Vektorraum  ) zum alten Zustand, so erhält man den neuen Zustand.

Aufgabe (Rechenregeln)

Sei   ein  -Vektorraum und  . Mache dir folgende "Rechenregeln" klar:

  • die Vektorräume   und   "sind gleich",

wobei   den Nullvektorraum bezeichnet.

  • die Vektorräume   und   "sind gleich".
  • die Vektorräume   und   "sind gleich".

Vergleiche dies mit den Potenzgesetzen für natürliche Zahlen.

Lösung (Rechenregeln)

To-Do:

TODO

Hinweis

Für die folgenden beiden Aufgaben brauchst du den Begriff des Isomorphismus. Falls du diesen Begriff noch nicht kennst, kannst du diese Aufgaben getrost überspringen.

Aufgabe (Kommutativität)

Seien   zwei  -Vektorräume. Zeige, dass die direkte Summe kommutativ ist, d.h. dass   und   isomorph sind.

Lösung (Kommutativität)

To-Do:

TODO

Aufgabe (Assozitativiät)

Seien   zwei  -Vektorräume. Zeige, dass die direkte Summe assoziativ ist, d.h. dass   und   isomorph sind.

Lösung (Assozitativiät)

To-Do:

TODO

Unendliche viele SummandenBearbeiten

anhand von universeller eigenschaft, von der nur noch die Hälfte gilt; Beispiel Polynomring und Potenzreihenring (als Vektorräume)

Definition direkte Summe und direktes Produkt für unendliche viele SummandenBearbeiten

Universelle Eigenschaft reloadedBearbeiten

Beziehung innere und äußere direkte Summe für unendlich viele SummandenBearbeiten