Beschreibung

Beschreibung01-Elfeck-Quadratrix.svg	Deutsch: Elfeck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel English: Hendecagon, exact construction using the quadratrix according of Hippias as an additional aid
Datum	28. Oktober 2017
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide.   Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

1. Zeichne einen Kreis mit dem Radius r = 1 (Einheitskreis).
2. Konstruiere über dem Radius OA₁ das Quadrat OA₁BC.
3. Bestimme die Quadratrix von Hippias mit der Parameterkurve ${\displaystyle \gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}})\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$:

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

mit

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi t}{2\cdot 1}}\right)\,&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t\end{aligned}}}$

4. Zeichne eine Halbgerade ab dem Mittelpunkt O.
5. Trage auf der Halbgeraden ab O elf gleiche Abstände ab. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Teilungspunkte bis 4 und und der Abschlußpunkt 11 dargestellt.

Anmerkung
Der Zentriwinkels des Elfecks ergibt sich aus ${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{11}},}$ aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab ${\displaystyle >0^{\circ }}$ bis ${\displaystyle \leq 90^{\circ }}$ in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Elftel der Strecke OC kann nur ein Elftel des Winkels ${\displaystyle 90^{\circ }}$ erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ aus dem Umkreis mit seinen ${\displaystyle 360^{\circ },}$ das Vierfache eines Elftels, d. h. der Teilungspunkt ${\displaystyle 4'}$ der Strecke OC, zur Konstruktion des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ genutzt.

6. Verbinde den Abschlußpunkt 11 mit C.
7. Ziehe eine Parallele zu C11 ab dem Teilungspunkt 4 bis OC, damit ergibt sich der Punkt 4'.
8. Ziehe eine Parallele zu OA₁ ab dem Punkt 4' bis zur Quadratrix, damit ergibt sich der Punkt D.
9. Ziehe eine gerade Linie vom Mittelpunkt O durch D bis zur Kreislinie, damit ergibt sich der zweite Eckpunkt A₂ des entstehenden Elfecks sowie der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) μ.
10. Verbinde den Punkt A₁ mit A₂, die Länge der Strecke A₁A₂ ist die exakte Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des regelmäßigen Elfecks.
11. Trage auf dem Umkreis ab dem Eckpunkt A₂ die Strecke A₁A₂ neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

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