Benutzer:Jürgen-Michael Glubrecht/Durchschnitt

Großer Durchschnitt

Bisher haben wir den Durchschnitt von zwei Mengen definiert. Nun wollen wir den Durchschnitt von vielen Mengen bilden. Dazu betrachten wir eine Menge $M$, deren Elemente genau die Mengen sind, über die wir den Durchschnitt bilden wollen. Wir sammeln dann die Objekte ein, die in allen Elementen von $M$ enthalten sind.

Beispiel (Durchnitt über $M$)

${\begin{aligned}{\mathsf {Sei}}\;&M:=\,\{A,B,C,D\}\;{\mathsf {und}}\\&A:=\{1,{\color {red}2},3,{\color {red}4},5\},\\&B:=\{{\color {red}2},{\color {red}4},7\},\\&C:=\{0,{\color {red}2},{\color {red}4},7,9\},\\&D:=\{{\color {red}2},3,{\color {red}4},8\}.\\{\mathsf {Dann}}&{\mathsf {\,ist\,der\,Durchschnitt\,{\ddot {u}}ber\,}}M:\;\{{\color {red}2},{\color {red}4}\}\end{aligned}}$

Besteht $M$ aus den zwei Mengen $A$ und $B$, so liegen im Durchschnitt über M alle Objekte, die sowohl in A als auch in B liegen. Und das ist gerade $A\cap B$. Der "kleine" Durchschnitt $\cap$ ist also ein Spezialfall des großen Durchschnitts $\bigcap$.

Definition (Großer Durchschnitt)

Der Durchschnitt über der Menge $M$ ist die Menge aller Objekte, die Element in allen Elementen von $M$ sind:

$\bigcap M:=\{x\,|\,\forall y\in M:x\in y\}$

Verständnisaufgabe: Beweise für zwei beliebige Mengen $A$ und $B$: $\;\bigcap \{A,B\}=A\cap B$.

${\begin{aligned}&x\in \bigcap \{A,B\}&&\\\iff &\forall y\in \{A,B\}:x\in y&&Definition\,von\,\bigcap \\\iff &x\in A\land x\in B&&\{A,B\}\,hat\,nur\,die\,beiden\,Elemente\\\iff &x\in A\cap B&&Definition\,von\,\cap \\\end{aligned}}$

Sonderfälle: Zur Erinnerung: $\varnothing :=\{x\,|\,x\neq x\}$ ist die leere Menge, ${\mathcal {V}}:=\{x\,|\,x=x\}$ die Allklasse, vgl. Kapitel "Leere Menge und Allklasse". Was ist

1. $\bigcap \varnothing$
2. $\bigcap {\mathcal {V}}$

Antwort:

1. $\bigcap \varnothing ={\mathcal {V}}$. Wir halten uns genau an die Definition von $\bigcap$ und erhalten: $\bigcap \varnothing =\{x\,|\,\forall y\in \varnothing :x\in y\}=\{x\,|\,\forall y:y\in \varnothing \Rightarrow x\in y\}=\dotsc$. Die Prämisse $y\in \varnothing$ der Implikation ist immer falsch, die Implikation selbst also wahr und damit auch die Allaussage. Deswegen können wir die Allaussage durch $x=x$ ersetzen und die Gleichungskette fortsetzen: $\dotsc =\{x\,|\,x=x\}={\mathcal {V}}$.
2. Das können wir ohne weitere Voraussetzungen nicht beantworten, da wir ja nicht festgelegt haben, welche Objekte zur Allklasse gehören sollen! In der Regel wird aber die leere Menge selbst dazugehören und dann ist der Durchschnitt ebenfalls leer. Auch wenn gar keine Mengen zu ${\mathcal {V}}$ gehören gilt $\bigcap {\mathcal {V}}=\varnothing$.

Notation

In der Mathematik ist noch eine andere Schreibweise für den großen Durchschnitt üblich.

$\bigcap _{A\in M}A$ ist genau dasselbe wie $\bigcap M$.

$A$ ist eine Variable und steht für die Elemente von $M$. Sie kann beliebig umbenannt werden, z. B. in $y$: $\bigcap _{y\in M}y$. Entscheidend ist die Menge $M$, mit deren Elementen wird der Durchschnitt gebildet. Wenn die Elemente der Menge $M$ indiziert sind, also $M=\{A_{1},A_{2},A_{3},\dotsc ,A_{i},\dotsc \}$, mit $i\in I$, ist auch die folgende Schreibweise üblich: $\;\bigcap _{i\in I}A_{i}$.