Aufgabensammlung Mathematik: Die irrationalen Zahlen

Irrationale Zahlen

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In diesem kleinen Projekt wirst du die irrationalen Zahlen ein wenig besser kennenlernen. Eingestreut finden sich einige, nicht allzu schwere Aufgaben, welche dieses Kennenlernen ein wenig aktiver gestalten sollen. Bisher hast du gewiß von den rationalen Zahlen (also der Menge  ) und von den reellen Zahlen (also der Menge  ) gehört. Führen wir für die Menge der irrationalen Zahlen nun das Symbol   ein, so gilt   . Einerseits gehören die irrationalen Zahlen somit zu den reellen Zahlen, andererseits unterscheiden sie sich offenbar von den rationalen Zahlen. Worin? Nun, die rationalen Zahlen sind diejenigen Zahlen, welche in der Form   mit   dargestellt werden können. Und die irrationalen Zahlen sind dann gerade diejenigen Zahlen, für die dies nicht möglich ist. Ein erster, konkreter Kontakt mit einer irrationalen Zahl findet zumeist über den Nachweis der Irrationalität von   statt; es wird also gezeigt (und wir werden dies auch freimütig verwenden)  . Ebenfalls öfters anzutreffen ist der Einstieg über   , d.h. man zeigt, dass gilt   oder, was gleichbedeutend ist, dass die Gleichung   keine rationale Lösung besitzt. Diese Beweise findest du auf Myriaden von Seiten im Netz, etwa hier Wurzel aus 2 Wir steigen hier einfach mal mit dem Nachweis der Irrationalität von   ein.>

Allgemein gilt :   für  .

Mission 1:: Setze   und folgere  .

Nun verwenden wir das in jeder Formelsammlung zu findende Verhältnis   und haben alles parat für

Behauptung 1:  .

Beweis: Nehmen wir an, es wäre  , d.h.   mit  . Quadrieren, Multiplikation mit 2 und Subtrahieren von 1 führt auf  . Mit dem Ergebnis aus Mission 1 und oben erwähntem Verhältnis folgt   bzw.  . Dies steht im Widerspruch zur Tatsache, dass gilt  . Deshalb ist die Annahme   zu verwerfen und es gilt die Behauptung.

Eine Frage deinerseits lautet möglicherweise "Muss man denn immer so einen Aufwand betreiben, um eine Zahl bezüglich Irrationalität einschätzen zu können?". Nein, nicht immer, aber manchmal noch sehr viel mehr! Einerseits kennt man einige allgemeine Sätze, etwa

  Ist   nicht k-te Potenz einer natürlichen Zahl, so ist   irrational.

Für   ist somit sofort klar, dass  ,  ,   oder auch   allesamt irrational sind. Allgemeiner und etwas salopp ausgedrückt: Steht unter der Quadratwurzel keine Quadratzahl, so ist das Teil irrational.

  Für   ist   irrational, wenn von den beiden Zahlen   und   die eine einen Primteiler aufweist, welchen die andere nicht besitzt.

Somit sind beispielsweise   und   irrational,   hingegen nicht.

  Für   ist stets  ; so zum Beispiel  .

Dennoch gibt es beliebig viele Irrationalzahlen, welche nicht auf diese Weise erfasst werden können und die dann andere Methoden erfordern wie z.B. Reihendarstellungen. Auf eben diesem Wege zeigt man die Irrationalität der Eulerschen Zahl   oder von  .

Nun werden wir ein wenig beweislastiger weitermachen und einige Aussagen über Summe und Produkt von (ir)rationalen Zahlen anschauen.

Behauptung 2:   und    .

Beweis:Wir führen einen indirekten Beweis; wir nehmen also an, dass gilt:   und   und  .

Sei nun     und  . Folglich ist   bzw.   was gerade im Widerspruch zur Annahme   steht. Also muss   doch irrational sein.

Ganz ähnlich gehen wir in folgendem Fall vor.

Behauptung 3:   und    .

Beweis:Wir gehen abermals indirekt vor, nehmen also an, es gelte   und   und  .

Dann folgt   bzw.   was gerade im Widerspruch zur Annahme   steht. Also muss   doch irrational sein.

Nun bist du an der Reihe, einen analogen Beweis zu führen.

Mission 2: Zeige:  und    .

Lösung(shinweis): Wieder über indirekte Argumentation. Wir nehmen an, dass   und   und  . Dann folgt   bzw.   was gerade im Widerspruch zur Annahme   steht. Also muss   doch irrational sein.

Du weißt, dass Summe und Produkt rationaler Zahlen wieder eine rationale Zahl ergeben (man spricht von der „Abgeschlossenheit“ gegenüber den Operationen „ “ und „ “) Gilt dies auch für die Menge  ?

Mission 3: Seien  

Gilt dann   und  ?

Lösung(shinweis): Verwende z.B. im ersten Fall die Werte   und   sowie im zweiten Fall jeweils  .   ist also gegenüber diesen Operationen nicht abgeschlossen.

Mit dem bisher Bewiesenen hat man auch eine Methode an der Hand, um in dem einen oder anderen Fall zügig über Irrationalität entscheiden zu können. So ist die Irrationalität von Ausdrücken wie   oder   rasch zu erkennen.

Mission 4: Zeige, dass jede Zahl   als Produkt zweier irrationaler Zahlen dargestellt werden kann.

Lösung(shinweis): Multiplikation mit 1 lässt eine Zahl unverändert. Damit gilt für jede rationale Zahl   oder anders geschrieben  . Der erste Faktor ist nach Behauptung 3 irrational und der zweite bekanntlich ebenfalls.

Jetzt folgt ein Klassiker.

Vorgelegt seien zwei irrationale Zahlen   und  . Wir stellen uns nun die Frage, ob der Ausdruck   überhaupt rational sein kann, oder ob er nicht vielmehr irrational sein muss. Versuchen wir es mit   also mit   Es gibt nun genau zwei Möglichkeiten, entweder   oder   Gilt die erste Möglichkeit, so sind wir schon fertig, da wir dann ja bereits ein passendes Beispiel gefunden hätten. Nehmen wir also mal   an und bilden dann den neuen Ausdruck     Will heißen:   So oder so, wir dürfen also die Ausgangsfrage positiv beantworten; es existieren irrationale Zahlen   und   mit   Gilt das nun auch für den Ausdruck  ? Obwohl wir dies interessanterweise für den Beweis ja überhaupt nicht wissen mussten, sei kurz verraten: Nein! Es handelt sich hierbei um eine sog. „transzendente Zahl“. Allerdings hätten wir hier mittels der weiter oben erwähnten Irrationalität der Zahlen   und   auch ein wenig "deutlicher" entscheiden können, ist doch  

Behauptung 4: Seien   und   Wir zeigen:  

Beweis: Annahme:   Wir formen diese Gleichung ein wenig um zu   und betrachten nun folgende Fälle:

 

Gilt 1), folgt   im Widerspruch zur Voraussetzung  

Gilt 2), so muss, damit   erfüllt wird, gelten   (  kann nicht Null sein, da es irrational ist). Wir haben somit einerseits   und andererseits   Einsetzen der einen Gleichung in die andere führt auf   was mit der Voraussetzung   kollidiert.

Insgesamt muss also die Annahme   verworfen werden und es gilt die Behauptung.


Mission 5: Zeige:  

Lösung(shinweis): Wir beweisen die Kontraposition   Sei also   und somit   Quadrieren liefert   was wiederum in   liegt.

Dieser kleine Beweis war kein reiner Selbstzweck, sondern spielt eine Rolle in der nächsten Behauptung.

Behauptung 5: Für alle   gilt:  


Beweis: Es ist   Angenommen,   wäre rational, also  

Dann folgte  

Jedoch gilt   da   keine Quadratzahl ist und somit, wie wir weiter oben bereits angemerkt haben, die Irrationalität der Wurzel daraus folgt.

Also muss   sein und infolgedessen (siehe Mission Nr. 5) dann auch  

Ein konkretes Beispiel, welches häufig anzutreffen ist, lautet   Völlig anlog kannst du zeigen, dass für alle   gilt:  

Zum Abschluss des Projektes folgt noch eine kleine Aufgabe mit physikalischer Grundtönung. Es geht um zwei sog. mathematische Pendel. Stelle dir zunächst einmal ein solches Pendel mit der Länge   vor. Direkt daneben wird nun ein zweites Pendel mit der Länge   eingehängt. Jetzt lenke beide gedanklich um einen kleinen Winkel (es liegt also eine harmonische Schwingung vor) in die selbe Richtung aus. Dies ist unsere Ausgangssituation. Nun lasse beide Pendel gleichzeitig los.

Mission 6: Zeige, dass diese Ausgangssituation nicht wieder erreicht werden kann, d.h. es gibt keinen Zeitpunkt, zu welchem die beiden Pendel wieder gemeinsam am Startpunkt anzutreffen sind. Anmerkung: Für die Periodendauer   gilt hier  

Lösung(shinweis): Damit das Pendel der Länge   nach   Schwingungen wieder gemeinsam mit dem Pendel der Länge   (entsprechend nach   Schwingungen) am Startpunkt auftaucht, muss gelten   bzw.     Nun gilt aber auch   Damit also die Ausgangssituation nochmals eintritt, muss der Quotient   letztlich irrational werden, was, wie wir wissen, nicht möglich ist.