Aufgabensammlung Mathematik: DGL dx/dt=sin(tx) besitzt eindeutig definierte Lösung

DGL dx/dt=sin(tx) besitzt eindeutig definierte Lösung Bearbeiten

Zeigen Sie, dass jedes der Anfangswertprobleme

 

eine eindeutig bestimmte Lösung auf ganz   besitzt.

(Quelle: Aufgabe 4 vom Übungsblatt 4, Vorlesung „Gewöhnliche Differentialgleichungen“ gehalten von Edgardo Stockmeyer Sommersemester 2011, LMU München. Übungsgruppenleiter: Sorin Nedelcu)

Beweis Bearbeiten

Behauptung 1: Die DGL besitzt auf jedem Intervall   mit   eine eindeutige Lösung

Sei  .   ist global Lipschitz-stetig bezüglich  , denn die partielle Ableitung   ist betragsmäßig durch   nach oben beschränkt:

 

Wegen   ist   bezüglich   global Lipschitz-stetig. Damit besitzt die DGL   eine auf ganz   definierte, eindeutige Lösung.

Behauptung 2: Die DGL der Aufgabenstellung besitzt eine eindeutige Lösung

In Behauptung 1 haben wir gezeigt, dass die DGL für jedes Intervall   mit   eine eindeutige Lösung besitzt. Dies können wir ausnutzen, um die eindeutige, globale Lösung der DGL zu konstruieren. Sei nun für jedes   die Funktion   die eindeutige Lösung auf dem Intervall  . Wir definieren:

 

  konvergiert punktweise gegen eine Funktion  , da   für   und  . Da für jedes   es eine offene Umgebung um   gibt, auf der   mit einem der Löungsfunktionen   übereinstimmt, ist   eine Lösung der oberen DGL. Außerdem folgt daraus gleichzeitig die Eindeutigkeit der Lösung der DGL.