Behauptung 1: Die DGL besitzt auf jedem Intervall mit eine eindeutige Lösung
Sei . ist global Lipschitz-stetig bezüglich , denn die partielle Ableitung ist betragsmäßig durch nach oben beschränkt:
Wegen ist bezüglich global Lipschitz-stetig. Damit besitzt die DGL eine auf ganz definierte, eindeutige Lösung.
Behauptung 2: Die DGL der Aufgabenstellung besitzt eine eindeutige Lösung
In Behauptung 1 haben wir gezeigt, dass die DGL für jedes Intervall mit eine eindeutige Lösung besitzt. Dies können wir ausnutzen, um die eindeutige, globale Lösung der DGL zu konstruieren. Sei nun für jedes die Funktion die eindeutige Lösung auf dem Intervall . Wir definieren:
konvergiert punktweise gegen eine Funktion , da für und . Da für jedes es eine offene Umgebung um gibt, auf der mit einem der Löungsfunktionen übereinstimmt, ist eine Lösung der oberen DGL. Außerdem folgt daraus gleichzeitig die Eindeutigkeit der Lösung der DGL.