Die kritischen Exponenten der Landau-Theorie sind nicht voneinander
unabhängig, was jetzt im Rahmen der Annahmen dieser Theorie gezeigt
werden soll. Die Beziehungen untereinander werden gerne als »Skalenrelationen«
bezeichnet.
Aus
folgt
. Dies verwenden
wir zum einen in
,
woraus
resultiert. Zum andern
verwenden wir es mit
und
(mit
wegen
)
in
,
was zu
führt,
sodass sich
ergibt. Der Zusammenhang
zwischen dem mittleren Schwankungsquadrat des Ordnungsparameters und
der Korrelationsfunktion führt wegen
(da
)
und somit
als auch
,
zu:
,
woraus wir durch Vergleich mit
die Gleichung
erschließen
können.
Aus dem Ginzburg-Kriterium,
,
erhalten wir zudem die sog. »Hyperskalenrelation«:
bzw. mittels
auch
.
Die Skalenrelationen beruhen auf der Invarianz der in der Landau-Theorie
auftretenden Beziehungen unter sog. »Skalentransformationen«, was
im Folgenden gezeigt werden soll. Beispielsweise ist
invariant unter den (gleichzeitigen) Transformationen
und
, was wir umgekehrt
auch als
deuten werden. Setzen wir
hierin
, dann
erhalten wir über
den kritischen Exponenten
.
Die freie Enthalpie ist eine extensive Größe, d.h.
,
weshalb wir folgenden Ansatz wagen:
,
wobei wir fortan
definieren
möchten, sodass
.
Setzen wir
,
dann erhalten wir aus unserem Ansatz
.
Für die Wärmekapazität resultiert hieraus wegen
der kritische Exponent
.
Außerdem berechnen wir z.B. wie bei der Magnetisierung eines Ferrormagneten
m wie folgt aus der freien Enthalpie:
.
Hierin setzen wir zunächst
,
woraus
mit
resultiert.
Dann setzen wir in die Gleichung für m
,
sodass sich
mit
ergibt.
Aus den Gleichungen für
und
lässt sich das Verhältnis
berechnen, das sich z.B. in die erstere der beiden Gleichungen für
m einsetzen lässt:
.
Die Suszeptibilität
liefert mit
über
den kritischen Exponenten
.
Aus
erhalten wir zum einen
eine neue Gleichung für Alpha,
,
was bereits die Hyperskalenrelation ist, und zum andern mittels
eine neue Gleichung für Gamma:
.
Die Gleichung
lässt sich sehr einfach nach
auflösen,
was
ergibt. Dieses
Resultat kann wiederum in die Gleichung für Beta eingesetzt und nach
aufgelöst werden:
.
Setzen wir wiederum diese Gleichung für
in die ursprüngliche für Alpha ein, dann ergibt sich
.
Letztere Gleichung können wir aber verwenden, um in der neuen Gleichung
für Gamma den Term mit
zu ersetzen, woraus
schließlich die Skalenrelation
resultiert.
Mit Hilfe von
,
,
,
und des Ginzburg-Kriteriums,
,
bzw.
,
worin R eine systemabhängige Reichweite der Wechselwirkung sei,
lässt sich eine sog. »obere kritische Dimension« einführen, ab der
die Landau-Theorie richtig wird. Denn mit den Werten dieser Theorie
für die kritischen Exponenten
und
ergibt sich für
, dass dann
d.h.
gelten muss. Umgekehrt kann es auch eine
sog. »untere kritische Dimension« geben, bei der der Phasenübergang
durch Fluktuationen unterdrückt wird.