Physik Oberstufe/ Quantenphysik/ Materiewellen

De Broglie Wellen

Sichtbar sind jeweils die Ringe der ersten Beugungsordnung.

Die Graphitfolie hat zwei relevante Gitterkonstanten.

Elektronenbeugung an einer Graphitfolie.

Debye-Scherrer-Verfahren

Streuung an Kristallebenen. Für die Wegdifferenz $\delta$ der Strahlen gilt: $\delta =2d\sin(\Theta )$.

Experiment: Ein Elektronenstrahl wird auf ein Graphit-Target geschossen. Beobachtung: Auf dem Schirm sieht man dunkle und helle Ringe, wie man sie vom Debye-Scherrer-Verfahren mit Röntgenstrahlen kennt. Hier wird jedoch ein Elektronenstrahl verwendet. Offensichtlich lassen sich auch mit Elektronen Interferenzerscheinungen erzeugen. Wird die Beschleunigungsspannung $U_{A}$ erhöht, so verkleinern sich die Ringe.

Experimentelle Bestimmung der De-Broglie-Wellenlänge

Doppelspaltexperiment mit Elektronen.

Interferenz von Elektronen. Photo aus der Originalarbeit.

Die hellen Ringe stellen jeweils Maxima 1. Ordnung für zwei unterschiedliche Gitterebenen mit Ebenenabstand $d_{1}=213\,{\rm {pm}}$ und $d_{2}=123\,{\rm {pm}}$ dar. Bei einer Beschleunigungsspannung von $U_{A}=3\,{\rm {kV}}$ und einem Abstand zwischen Kristall und Schirm von $L\approx 13\,{\rm {cm}}$ betragen die Radien der Ringe $r_{1}\approx 1.5\,{\rm {cm}}$ und $r_{2}\approx 2.75\,{\rm {cm}}$.

Für konstruktive Interferenz ist $\delta =\lambda$ und die Bragg-Bedingung damit:

$\lambda =2d_{i}\sin(\Theta _{i})$.

Für die Geometrie der Abbildung auf dem Schirm gilt:

${\frac {r_{i}}{L}}=\tan(2\Theta _{i})$.

Setzt man Näherungsweise $\sin(\Theta )\approx \tan(\Theta )\approx \Theta$, so erhält man:

$\lambda ={\frac {d_{i}\cdot r_{i}}{L}}\approx 25\,{\rm {pm}}$

Berechnung der De-Broglie-Wellenlänge

Doppelspaltexperiment mit Elektronen: Es werden nach und nach einzelne Elektronen registriert, die in Summe das bekannte Beugungsbild ergeben. Anzahl der Elektronen: a: 11, b: 200, c: 6000, d: 40000, e: 140000.

Wird die Beschleunigungsspannung erhöht, so verkleinern sich die Ringe, die Wellenlänge hängt also von der Geschwindigkeit der Elektronen ab. Für eine (sehr windige) Herleitung gehen wir von der Photonenenergie $W_{\mathrm {Ph} }$ aus:

$W_{\mathrm {Ph} }={\frac {h\cdot c}{\lambda }}=mc^{2}$.

Dabei soll $m$ die bewegte Masse des Photons in der relativistischen Energiebeziehung sein.
Kürzt man ein $c$, ergibt sich mit dem Impuls $mc=p_{\mathrm {Ph} }$ des Photons:

${\frac {h}{\lambda }}=mc=p_{\mathrm {Ph} }$.

Dieses Ergebnis bestätigt sich, wenn wir die allgemein gültige Energie-Impuls-Relation der speziellen Relativitätstheorie verwenden. Es gilt nämlich mit der Ruhemasse $m_{0}$:

$E^{2}-p^{2}\cdot c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}$.

Für masselose Teilchen folgt daraus direkt:

$E=p\cdot c$.

Mit der Photonenenergie $E_{\mathrm {Ph} }={\frac {h\cdot c}{\lambda }}$ erhält man wie zuvor:

$p_{\mathrm {Ph} }={\frac {h}{\lambda }}$.

Wir verwenden nun diese Formel und gehen davon aus, dass sie auch für Elektronen mit entsprechendem Impuls gilt. Wir setzen für $p_{\mathrm {Ph} }$ den Impuls $p=m_{e}\cdot v$ der Elektronen ein und erhalten für unsere Beschleunigungsspannung $U_{\mathrm {A} }$:

$\lambda ={\frac {h}{m_{e}{\sqrt {\frac {2e\,U_{\mathrm {A} }}{m_{e}}}}}}={\frac {h}{\sqrt {2m_{e}\,e\,U_{\mathrm {A} }}}}\approx 22\,{\rm {pm}}$.

Mit bewegten Teilchen (Elektronen, Neutronen, Protonen, …) lassen sich Beugungs- und Interferenzexperimente durchführen. Dabei sind den Teilchen Wellen mit der De-Broglie-Wellenlänge $\lambda ={\frac {h}{p}}$ zugeordnet. Die mathematische Behandlung erfolgt in der Quanten-/Wellenmechanik.

Die Heisenbergsche Unschärferelation

Beugung am Spalt. Je genauer der Ort durch die Spaltbreite festgelegt wird, desto größer wird die Impulsunschärfe.

Werner Heisenberg und Niels Bohr.

Gedankenexperiment: Ein monochromatischer Elektronenstrahl trifft auf einen Einzelspalt. Den Elektronen kann eine Welle mit der De-Broglie-Wellenlänge $\lambda ={\frac {h}{p}}$ zugeordnet werden. Je schmäler der Spalt, desto breiter das Beugungsbild, also die Ungenauigkeit des Impulses in $x-$Richtung. Wie ist der genaue Zusammenhang?

Damit ein Elektron im Bereich des ersten Minimums auf den Schirm auftrifft, benötigt es einen Impuls $p_{x}$ in $x-$Richtung von:

$p_{x}=p_{z}\cdot \sin(\alpha )\qquad (1)$.

Für den Winkel $\alpha$, unter dem das erste Minimum des $\Delta x$-breiten Einzelspalts auftritt, gilt:

$\sin(\alpha )={\frac {\lambda }{\Delta x}}={\frac {h}{p_{z}\cdot \Delta x}}\qquad (2)$,

wobei für $\lambda$ die De-Broglie-Wellenlänge eingesetzt wurde. Setzen wir $(2)$ in $(1)$ ein, ergibt sich:

$p_{x}=p_{z}\cdot {\frac {h}{p_{z}\cdot \Delta x}}={\frac {h}{\Delta x}}$.

Ein Elektron, das den Spalt passiert, findet sich mit großer Wahrscheinlichkeit im Bereich zwischen den beiden ersten Minima wieder. Dieser Bereich ist bei hinreichend schmalem Spalt $\Delta x$ viel breiter als der Spalt selbst. Um den Bereich auszufüllen benötigt das Elektron nach dem Spalt eine Impulsunschärfe in $x-$Richtung von $\Delta p_{x}\approx {\frac {h}{\Delta x}}$.

Dementsprechend gilt die Heisenbergsche Unschärferelation:

$\Delta p_{x}\cdot \Delta x\approx h$.

Deutung: Sei der Ort eines Teilchens bis auf die Ortsunschärfe $\Delta x$ bekannt. Dann ist sein Impuls nur bis auf die Impulsunschärfe $\Delta p_{x}$ wie in der Heisenbergschen Unschärferelation gegeben bestimmbar. Ort und Impuls lassen sich also nicht gleichzeitig beliebig genau messen. Je genauer man eine der Größen bestimmt, umso ungenauer wird die andere.