Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Definition

Mathematik Lineare Algebra Vektorräume

Ein Vektorraum über dem Körper $K$ – oder kurz $\mathbf {K}$-Vektorraum – ist eine nichtleere Menge $V$ mit einer Addition $+\colon V\times V\to V$ und einer Skalarmultiplikation $\cdot \colon K\times V\to V$, so dass $(V,+)$ eine abelsche Gruppe bildet und zusätzlich gilt:

• Die Skalarmultiplikation ist assoziativ: $a\cdot (b\cdot v)=(a\cdot b)\cdot v$ für alle $a,b\in K,v\in V$
• $1\in K$ ist das neutrale Element bezüglich der Skalarmultiplikation, das heißt für alle $v\in V$ gilt: $1\cdot v=v$

Zudem sind beide Verknüpfungen distributiv, so dass für $a,b\in K,v,w\in V$ gilt:

• $(a+b)\cdot v=av+bv$
• $a(v+w)=av+aw$

Ein Beispiel für einen Vektorraum ist die euklidische Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation. Anschaulich entspricht dies einer Ebene mit Nullpunkt, in der Vektoren durch Addition aneinandergesetzt und durch Multiplikation gestreckt werden.

Unterräume

Eine Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Unterraum eines $K$-Vektorraums $V$, falls

• $0\in U$
• Für alle $a\in K$ und $v,w\in U$ gilt: $av+w\in U$.

$U$ bildet selbst wieder einen Vektorraum. Aufgrund des geringeren Aufwands wird deshalb der Beweis, dass ein gegebenes $V'$ einen Vektorraum bildet, nicht selten über die Unterraumeigenschaften geführt, nachdem zuvor ein geeigneter, $V'$ umgebender Vektorraum $V$ gewählt wurde.

Insbesondere sind $\{0\}$ und $V$ triviale Unterräume von $V$.

In der euklidischen Ebene sind beispielsweise alle Geraden durch den Nullpunkt Unterräume.

Ein um einen festen Vektor $v\in V$ verschobener Unterraum $U$ des Vektorraums $V$, das heißt eine Menge der Form

$v+U:=\{v+u\colon u\in U\}$

heißt affiner Unterraum mit Translationsraum $U$.

Insbesondere ist die Lösungsmenge eines beliebigen linearen Gleichungsystems $A\in M_{n}(K)$ – sofern nicht leer – ein affiner Unterraum mit $v$ Lösung von $Ax=b$ und $U:=\ker A$.