Mathematik: Diskrete Mathematik: Mengenlehre
Definition Bearbeiten
Eine Menge ist eine Sammlung von verschiedenen Dingen, wie z.B.
- Zahlen
- Buchstaben
- Farbe
- Figuren
- Namen
Mengen werden mit Großbuchstaben benannt.
Darstellungen Bearbeiten
Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Menge darzustellen:
- graphisch mit Hilfe von Mengenbildern
- in aufzählender Form:
- in beschreibender Form:
Elemente Bearbeiten
Die in der Menge beinhalteten Objekte nennt man Elemente.
(lies "x ist Element von A")
bedeutet, dass x ein Element der Menge A ist, also in dieser Menge liegt.
(lies "x ist nicht Element von A") bedeutet, dass x kein Element der Menge A ist, also nicht in A liegt.
Beispiel:
Besitzt eine Menge keine Elemente, so ist sie die leere Menge.
Eine Menge kann jedoch eine leere Menge enthalten !
Gleichheit Bearbeiten
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente beinhalten. Beim Aufzählen von Mengen zählt weder die Reihenfolge der einzelnen Elemente, noch die Anzahl der gleichen Elemente.
Mächtigkeit Bearbeiten
Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist die Anzahl ihrer Elemente.
Beispiele:
Bei unendlichen Mengen hat wird der Anzahlbegriff problematisch; die Mächtigkeit wird durch ein Symbol ausgedrückt, das ausdrücklich keine Zahl im arithmetischen Sinne ist.
Für die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen schreibt man
(gesprochen aleph null).
Aus Mengen gebildete Mengen Bearbeiten
- Die Teilmenge: Die Teilmenge ist eine Menge die in der Ausgangsmenge enthalten ist, und so alle Elemente dieser beinhaltet.
Datei:Teilmenge.png - Die Potenzmengen: Die Potenzmenge beinhaltet alle möglichen Teilmengen.
Die Mächtigkeit der Potenzmenge beträgt immer die Potenz von 2 mit der Mächtigkeit der Ausgangsmenge:
Datei:Menge aller teilmengen.png
- Die Schnittmenge: Die Schnittmenge beinhaltet alle Elemente, die gleichzeitig in der Menge A und B enthalten ist.
- Die Vereinigungsmenge: Die Vereinigungsmenge beinhaltet alle Elemente, die entweder in A oder in B enthalten sind.
- Die Differenzmenge: Die Differenzmenge beinhaltet alle Elemente, die in A aber nicht in B enthalten sind.
Rechenregeln für Mengenoperationen Bearbeiten
Für beliebige Mengen gelten die folgenden Rechenregeln
- Kommutativgesetze
- Assoziativgesetze
- Distributivgesetze
- Absorptionsgesetze
- Idempotenzgesetze
- De Morgansche Regel
Relationen Bearbeiten
Definition Bearbeiten
Sind die Mengen und endliche, nicht leere Mengen, so heißt (binäre) Relation zwischen A und B.