Potenzmenge – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Definition

Erklärung und Beispiele zur Potenzmenge (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Die Potenzmenge der Menge $\{x,\,y,\,z\}$

Die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(M)$ einer Menge $M$ ist die Menge aller Teilmengen der Menge $M$. Es ist also ${\mathcal {P}}(M):=\{U\,|\,U\subseteq M\}$. Neben ${\mathcal {P}}(M)$ sind noch die Schreibweisen $2^{M}$ und $\mathrm {Pot} (M)$ gebräuchlich.

Einfach ausgedrückt: Die Potenzmenge ist die Menge aller möglichen Kombinationen der einzelnen Elemente einer Menge. Im vorherigen Kapitel wurde bereits die Teilmenge erläutert. Die Potenzmenge umfasst alle möglichen Teilmengen, die sich aus den Elementen von $M$ bilden lassen. Dazu zählt auch die leere Menge $\varnothing$.

 

Definition (Potenzmenge)

Die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(M)$ einer Menge $M$ ist die Menge aller Teilmengen dieser Menge:

${\mathcal {P}}(M):=\{U\,|\,U\subseteq M\}$

Hinweis

Es ist ${\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}$, was man nicht mit der leeren Menge $\varnothing$ verwechseln darf. $\{\varnothing \}$ ist die einelementige Menge, die die leere Menge als einziges Element enthält.

Beispiele

Wenden wir die Definition nun in einem Beispiel an. Gegeben sei die Menge $M$ folgender Instrumente:

$M=\{{\text{Geige, Klavier}}\}$

$M$ besitzt zwei Elemente. Damit kommen als Teilmengen von $M$ nur solche Mengen infrage, die entweder null, eins oder zwei Elemente enthalten. Insgesamt wirst du für $M$ folgende vier Teilmengen finden:

1. Die leere Menge ist die einzige Teilmenge von $M$ ohne Elemente: ${\color {RubineRed}\varnothing }\subseteq \{{\text{Geige, Klavier}}\}$.
2. Die zwei einelementigen Teilmengen von $M$ sind $\{{\text{Geige}}\}$ und $\{{\text{Klavier}}\}$:
   1. ${\color {Fuchsia}\{{\text{Geige}}\}}\subseteq \{{\text{Geige, Klavier}}\}$
   2. ${\color {Blue}\{{\text{Klavier}}\}}\subseteq \{{\text{Geige, Klavier}}\}$
3. Als einzige zweielementige Teilmenge von $M$ kommt die Menge selbst infrage: ${\color {OliveGreen}\{{\text{Geige, Klavier}}\}}\subseteq \{{\text{Geige, Klavier}}\}$

Alle vier Teilmengen können wir nun in die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(M)$ zusammenfassen:

${\mathcal {P}}(\{{\text{Geige, Klavier}}\})=\{\ {\color {RubineRed}\varnothing },\ {\color {Fuchsia}\{{\text{Geige}}\}},\ {\color {Blue}\{{\text{Klavier}}\}},\ {\color {OliveGreen}\{{\text{Geige, Klavier}}\}}\ \}$

Weitere Beispiele sind:

Beispiel (Potenzmenge)

• ${\mathcal {P}}(\{1,\,2\})=\{\ \varnothing ,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,\,2\}\ \}$
• ${\mathcal {P}}(\{a\})=\{\ \varnothing ,\,\{a\}\ \}$
• ${\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\,\varnothing \,\}$

In der folgenden Animation ist die Erstellung der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\{x,\,y,\,z\})$ dargestellt:

Eigenschaften und Verständnisfragen

Wenn du dir die obigen Beispiele anschaust, dann ist die Anzahl der Elemente der bisherigen Potenzmengen stets eine Potenz von $2$. Dies ist nicht verwunderlich, denn es gilt allgemein:

Satz (Größe der Potenzmenge einer endlichen Menge)

Sei $M$ eine beliebige endliche Menge mit $m$ Elementen. Dann hat die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(M)$ genau $2^{m}$ Elemente.

Beweis (Größe der Potenzmenge einer endlichen Menge)

Um eine Teilmenge $U\subseteq M$ zu bilden, ist für jedes der $m$ Elemente von $M$ zu entscheiden, ob es zur Teilmenge $U$ gehört oder nicht. Daher gibt es dafür genau $\underbrace {2\cdot 2\cdot \dotsc \cdot 2} _{insgesamt\,m\,Mal}=2^{m}$ Möglichkeiten.

Bei dem obigen Instrumentenbeispiel ist beispielsweise $m=2$. Damit muss die Potenzmenge $2^{m}=2^{2}=4$ Elemente besitzen. Die Beispielmenge $\{x,y,z\}$ hat drei Elemente und acht Teilmengen (x, y und z seien alle verschieden).

Verständnisfrage: Wie sehen folgende Potenzmengen aus? Wie viele Elemente besitzen die Potenzmengen?

1. ${\mathcal {P}}(\{1\})$
2. ${\mathcal {P}}(\{a,b\})$
3. ${\mathcal {P}}(\varnothing )$

Antwort:

1. ${\mathcal {P}}(\{1\})=\{\,\varnothing ,\,\{1\}\,\}$, die Potenzmenge besitzt zwei Elemente.
2. ${\mathcal {P}}(\{a,b\})=\{\,\varnothing ,\,\{a\},\,\{b\},\,\{a,b\}\,\}$, die Potenzmenge besitzt vier Elemente.
3. ${\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\,\varnothing \,\}$, die Potenzmenge besitzt ein Element.

Verständnisfrage: Welche der folgenden Aussageformen sind für alle Mengen $M$ erfüllt?

1. $M\in {\mathcal {P}}(M)$
2. $M\subseteq {\mathcal {P}}(M)$
3. $\{M\}\in {\mathcal {P}}(M)$
4. $\{M\}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$
5. $\varnothing \in {\mathcal {P}}(M)$
6. $\varnothing \subseteq {\mathcal {P}}(M)$

Antworten:

1. Allgemeingültige Aussageform
2. Nicht allgemeingültige Aussageform
3. Nicht allgemeingültige Aussageform
4. Allgemeingültige Aussageform
5. Allgemeingültige Aussageform
6. Allgemeingültige Aussageform

Begründungen für die Antworten:

1. Für jede Menge $M$ ist $M\subseteq M$. Jede Menge $M$ ist also eine Teilmenge von sich selbst. Damit ist nach Definition auch stets $M\in {\mathcal {P}}(M)$.
2. Nimm als Gegenbeispiel $M=\{1\}$. Es ist ${\mathcal {P}}(\{1\})$ die zweielementige Menge $\{\varnothing ,\{1\}\}$. Nun ist genau dann $\{1\}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$, wenn $1$ ein Element von ${\mathcal {P}}(M)$ ist. Es ist zwar $1\in M$ aber $1\notin \{\emptyset ,\{1\}\}$. Die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(M)$ besteht nämlich nur aus den beiden Mengen $\varnothing$ und $\{1\}$, die beide ungleich $1$ sind (beachte $1\neq \{1\}$. Also kann $\{1\}$ keine Teilmenge von ${\mathcal {P}}(\{1\})$ sein. Zwar ist jede Menge Teilmenge von sich selbst, aber nicht jede Menge ist Teilmenge seiner Potenzmenge.
3. Nimm als Gegenbeispiel $M=\varnothing$. Es ist ${\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}$. Die leere Menge $\varnothing$ ist also das einzige Element von ${\mathcal {P}}(M)$. Damit ist aber $\{\varnothing \}$ (die Menge der leeren Menge) kein Element von ${\mathcal {P}}(M)$.
4. Es ist genau dann $\{M\}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$, wenn $M\in {\mathcal {P}}(M)$ ist. Wir haben bereits gesehen, dass $M$ stets Element von seiner Potenzmenge ${\mathcal {P}}(M)$ ist. Damit ist die Aussageform allgemeingültig.
5. Es ist $\varnothing \subseteq M$ für jede Menge $M$. Demnach ist auch $\varnothing \in {\mathcal {P}}(M)$ für alle Mengen $M$.
6. Die leere Menge ist Teilmenge von jeder Menge. Da auch ${\mathcal {P}}(M)$ eine Menge ist, ist auch $\varnothing \subseteq {\mathcal {P}}(M)$.

Verständnisfrage: Wie sieht die Menge ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))$ aus?

Die leere Menge ist die einzige Teilmenge der leeren Menge und deswegen ist ${\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}$. Die einelementige Menge $\{\varnothing \}$ hat die zwei Teilmengen $\varnothing$ und $\{\varnothing \}$. Also ist ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\,\varnothing ,\,\{\varnothing \}\,\}$.

Verständnisfrage: Wie viele Elemente besitzt die Menge ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing )))$?

Um die Anzahl der Elemente zu bestehen, können wir schrittweise vorgehen:

1. $\varnothing$ besitzt null Elemente. Damit besitzt ${\mathcal {P}}(\varnothing )=2^{0}=1$ Element.
2. ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))$ besitzt dann $2^{1}=2$ Elemente.
3. ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing )))$ besitzt dann $2^{2}=4$ Elemente.

Die Menge besitzt also vier Elemente.