Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Messbarkeit und Erzeugendensysteme von Sigma-Algebren – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
Motivation Bearbeiten
In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.
Wo stehen wir Bearbeiten
Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien Messräume. Wir definierten eine Abbildung als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra auf Mengen der Sigma-Algebra abbildete. Jetzt zeigen wir, dass es genügt, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Das ist entscheidend, da Sigma-Algebren sehr groß sein können und Erzeugendensysteme i.A. gut handhabbar sind. Erst mit dieser Aussage bekommen wir die Messbarkeit in der Praxis zu fassen.
Messbarkeit und Erzeugendensysteme Bearbeiten
Satz (Messbarkeit und Erzeugendensysteme)
-
erzeugt eine Sigma-Algebra auf
ist eine Sigma-Algebra.
-
Seien Messräume. Es reicht, die Messbarkeit auf einem Erzeugendensystem zu überprüfen: Wird von erzeugt, d.h. , so gilt
Beweis (Messbarkeit und Erzeugendensysteme)
1.:
a) Zeige: . Da folgt mit der Eigenschaft von , dass
Mit der Definition von ergibt sich .
b) Zeige: Komplemente sind in . Sei , d.h.
Da auch Komplemente enthält und da mit dem Komplement vertauscht, folgt
Das ist die Definition von .
c): Zeige: Abzählbare Vereinigungen sind in . Seien , d.h.
Da wieder Vereinigungen enthält und da mit den Vereinigungen vertauscht, folgt
Das ist die Definition von
2.:
" ": Sei im Erzeugendensystem . Damit liegt es in der erzeugten Sigma-Algebra . Mit der Voraussetzung
gilt
" ": Nach Voraussetzung gilt
Nach Definition sind somit alle in
Da eine Sigma-Algebra ist, die nun enthält, und die kleinste Sigma-Algebra ist, die enthält, folgt
Das bedeutet aber
Stetige Funktionen sind Borel-messbar Bearbeiten
Satz (Stetige Abbildungen sind Borel-messbar)
Jede stetige Funktion ist -messbar.
Beweis (Stetige Abbildungen sind Borel-messbar)
:
Da die offenen Mengen ein Erzeugendensystem für sind
genügt es mit dem letzten Satz zu zeigen:
Ist offen, so ist auch offen.
Das ist gleichwertig zur Definition der Stetigkeit.
Aufgabe 1 Bearbeiten
Aufgabe
a) Sei und ein Erzeugendensystem. Dann gilt
b) Sei die Indikatorfunktion auf , d.h. für sonst. Welche Sigma-Algebra wird von auf erzeugt?
Beweis
a) Wir zeigen die Inklusion " ", zeige dazu ist eine Sigma-Algebra: Wähle abzählbar viele Elemente aus dem Mengensystem au . Dann gibt es nach Definition der Umkehrabbildung mit
Da eine Sigma-Algebra ist, gilt und damit mit der Eigenschaft der Umkehrabbildung, mit Mengenoperationen zu vertausche,
Wegen gilt und damit ist auch die kleinste Sigma-Algebra, die enthält in der rechten Sigma-Algebra
Wir zeigen die Inklusion " " Zeige, das folgende Mengensystem ist eine Sigma-Algebra
Da die in liegt und da , gilt
Seien , d.h. . Da die rechte Seite eine Sigma-Algebra ist, gilt
Dann gilt nach Definition von
Für gilt und somit , insgesamt also
b) Für alle gilt
Somit ist die erzeugte Sigma-Algebra .
In Aufgabe 2 c) des letzten Kapitels war und die davon erzeugte Sigma-Algebra, deshalb passte es genau mit der Messbarkeit.
Rechnen mit Unendlich Bearbeiten
Wir benötigen Funktionen, die auch den Wert annehmen, um Grenzwerte von Funktionenfolgen betrachten zu können. Dafür müssen wir Rechenregeln für vereinbaren.
Definition (Rechenregeln mit )
Die Null ist bei der Multiplikation stärker als Unendlich
Durch Null zu dividieren, ist dagegen nicht definiert: existiert nicht (es könnte je nach Annäherung an Null plus oder minus Unendlich sein.)
Unendlich kann man addieren und minus Unendlich kann man addieren
Nicht definiert ist dagegen (was sollte der Wert sein?)
Plus und minus Unendlich kann man multiplizieren
Nicht definiert sind
Die Borelsche Sigma-Algebra um Unendlich erweitert Bearbeiten
Bisher haben wir nicht als Funktionswerte verwendet, daher erweitern wir einfach zu
Unsere Borelsche Sigma-Algebra kann auch noch mit den Werten nicht umgehen. Wir erweitern sie also zu gemäß
Satz
Sei
Dann ist
eine Sigma-Algebra.
Beweis
:
a)
Da in liegt, folgt
b)
Sei . Das Komplement in (!) ist einfach
Da in der Sigma-Algebra liegt, ist auch . Es folgt
d.h. :
c)
Seien . Da eine Sigma-Algebra ist, ist die Vereinigung der in
Die Vereinigung der ist automatisch in
Es folgt
Erzeugendensysteme für Bearbeiten
Wir wollen die Messbarkeit bequem über Erzeugendensysteme zeigen. Nun benötigen wir ein gut handhabbares Erzeugendensystem für .
Satz
wird von
erzeugt, wobei
Beweis
:
Wir zeigen beide Inklusionen:
" ": Da von den offenen Mengen erzeugt wird, gilt . Da eine Sigma-Algebra enthält sie auch abzählbare Schnitte offener Mengen, d.h.
Damit folgt
Da eine Sigma-Algebra ist, die somit enthält, und da die kleinste Sigma-Algebra ist, die enthält, folgt
" " Wegen
ist das Erzeugendensystem von in . Da eine Sigma-Algebra ist, ist auch
Da wir als abzählbare Schnitte von Elementen des Erzeugendensystems schreiben können
gilt
Insgesamt folgt
Mit diesem Satz zeigen wir, dass es für die Messbarkeit genügt, die Mengen zu betrachten,
Numerische Funktionen Bearbeiten
Satz
Eine Funktion heißt numerische Funktion. Sie ist -messbar genau dann wenn
Beweis
Wir haben gezeigt, dass es genügt, die Messbarkeit auf einem Erzeugendensystem zu überprüfen. Wegen
und da von erzeugt wird, folgt die Behauptung.
Satz
Es gilt für
Damit war die Wahl von zum Überprüfen der Messbarkeit von künstlich. Mit einem anderen Erzeugendensystem hätte man auch die anderen Möglichkeiten wählen können.
Beweis
:
Wir führen den Beweis durch Ringschluss, d.h. wir zeigen
a) Gelte . Aus diesen lässt sich durch abzählbare Vereinigung konstruieren, die somit wieder in ist
b) Gelte . Aus diesen lässt sich durch Komplementbildung konstruieren, die somit wieder in ist
c) Gelte . Aus diesen lässt sich durch abzählbare Vereinigung konstruieren, die somit wieder in ist
d) Gelte . Aus diesen lässt sich durch Komplementbildung konstruieren, die somit wieder in ist
Damit ist der Ringschluss gezeigt.