Abstellraum/ Teleskopprodukte – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Teleskopprodukte

Das Analogon zu den Teleskopssumen bei der Multiplikation sind die Teleskopprodukte. Dies sind Produkte der Form $\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}$ bzw. $\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k+1}}}$. Bei ihnen heben sich die benachbarten Faktoren durch Kürzen auf, und so erhalten wir

${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k+1}}}&={\frac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot {\frac {a_{2}}{a_{3}}}\cdot \ldots \cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\\&=a_{1}\cdot {\frac {a_{2}}{a_{2}}}\cdot {\frac {a_{3}}{a_{3}}}\cdot \ldots \cdot {\frac {a_{n}}{a_{n}}}\cdot {\frac {1}{a_{n+1}}}\\&=a_{1}\cdot 1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1\cdot {\frac {1}{a_{n+1}}}\\&={\frac {a_{1}}{a_{n+1}}},\end{aligned}}$

und ebenso $\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}$.

Über solche Teleskopprodukte können wir nun auch die Folgen $\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k+1}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {a_{1}}{a_{n+1}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ bzw. $\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ definieren.

Die Grenzwerte $\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=\lim _{n\to \infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}$ bzw. $\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{a_{k+1}}}=\lim _{n\to \infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k+1}}}$ existieren dabei genau dann, wenn die Grenzwerte $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}}{a_{n+1}}}$ bzw. $\lim _{n\to \infty }a_{n+1}$ existieren.

Beispiel (Teleskopproduktfolgen)

• Betrachten wir die Produktfolge $\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {k}{k+1}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$. Hier ist $a_{k}=k$ und somit $\prod _{k=1}^{n}{\frac {k}{k+1}}={\frac {1}{n+1}}$. Die Folge konvergiert mit $\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{k+1}}=\lim _{n\to \infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {k}{k+1}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+1}}=0$.
• Für die Produktfolge $\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ist ebenfalls $a_{k}=k$. Da jedoch $(a_{k})$ divergiert, divergiert auch $\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k}}\right)=(n+1)$.

Aufgabe (Produktfolge)

Untersuche die Produktfolge $\left(\prod _{k=2}^{n}\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ auf Konvergenz.

Wie kommt man auf den Beweis? (Produktfolge)

Zunächst fällt auf, dass das Produkt hier bei $k=2$ anfängt. Dies ist jedoch kein Problem, wir müssen beim Ausrechnen des Teleskopproduktes den Index nur richtig anpassen. Des Weiteren hat das Produkt noch nicht die "Standardform" eines Teleskopprodukts, daher müssen wir es zunächst umformen. Es gilt

${\begin{aligned}\prod _{k=2}^{n}\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)&=\prod _{k=2}^{n}\left({\frac {k^{2}-1}{k^{2}}}\right)\\&=\prod _{k=2}^{n}\left({\frac {(k+1)(k-1)}{k\cdot k}}\right)\\&=\prod _{k=2}^{n}\left({\frac {k+1}{k}}\cdot {\frac {k-1}{k}}\right)\\&=\prod _{k=2}^{n}{\frac {k+1}{k}}\cdot \prod _{k=2}^{n}{\frac {k-1}{k}}\end{aligned}}$

Wir sehen also, dass es sich hier sogar um zwei Teleskopprodukte handelt. Das ist aber kein Problem, wir rechnen sie einfach beide aus, und multiplizieren dann die Ergebnisse.

$\prod _{k=2}^{n}{\frac {k+1}{k}}\cdot \prod _{k=2}^{n}{\frac {k-1}{k}}={\frac {n+1}{2}}\cdot {\frac {1}{n}}={\frac {n+1}{2n}}$

Den Grenzwert dieser Folge können wir nun mit Hilfe der Grenzwertsätze berechnen.

Beweis (Produktfolge)

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\prod _{k=2}^{n}\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)&{\underset {\text{oben}}{\overset {\text{wie}}{=}}}\lim _{n\to \infty }\left(\prod _{k=2}^{n}{\frac {k+1}{k}}\cdot \prod _{k=2}^{n}{\frac {k-1}{k}}\right)\\[0.5em]&\left\downarrow \ {\text{ Telekopprodukte}}\right.\\[0.5em]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{2}}\cdot {\frac {1}{n}}\\[0.5em]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{2n}}\\[0.5em]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1+{\frac {1}{n}}}{2}}\\[0.5em]&\left\downarrow \ {\text{ Grenzwertsätze}}\right.\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Also konvergiert unsere Produktfolge gegen ${\frac {1}{2}}$.