Ing Mathematik: Logisches Schließen
Wir setzen nun fort, was im letzten Kapitel begonnen wurde. Auch wenn der Stoff etwas abstrakt erscheinen mag, ohne ihn lassen sich die mathematischen Sätze, die später kommen werden, nicht verstehen. Deshalb sollte dieser Abschnitt aufmerksam gelesen werden.
Notwendige und hinreichende Bedingungen Bearbeiten
Die Implikation ist bereits bekannt (aus A folgt B; A impliziert B)). Man nennt A hier auch die Voraussetzung und B die Folgerung des Satzes.
- Notwendige Bedingung
- Eine Bedingung B ist für einen Sachverhalt S notwendig, wenn gilt.
- Hinreichende Bedingung
- Eine Bedingung B ist für einen Sachverhalt S hinreichend, wenn gilt.
- Notwendige und hinreichende Bedingung
- Eine Bedingung B ist für einen Sachverhalt S notwendig und hinreichend, wenn gilt.
B ist wahr | ? | S ist wahr | S ist wahr |
B ist falsch | S ist falsch | ? | S ist falsch |
Grundlegende Schlussregeln Bearbeiten
Bei logischen Schlüssen (Konklusionen) stellen die Schlussregeln immer sicher, dass aus wahren Aussagen wieder wahre Aussagen folgen. Darin unterscheiden sie sich grundlegend von Schlussfolgerungen, die jeder immer wieder im normalen Leben zieht. Die "alltäglichen" Schlussfolgerungen können sich nämlich auch als falsch herausstellen (geozentrisches Weltbild, Hexenverfolgung, kein Alibi = schuldig, etc.)
Abtrennungsregel Bearbeiten
Die Abtrennungsregel wird auch als Modus ponens bezeichnet.
Ist A wahr und ist auch wahr, so ist auch B wahr.
Widerlegungsregel Bearbeiten
Die Widerlegungsregel wird auch als Modus tollens bezeichnet.
Ist wahr und ist auch wahr, so ist wahr.
Kontrapositionsregel Bearbeiten
Ist wahr , so ist auch wahr.
Kettenschluss Bearbeiten
Ist wahr und ist auch wahr, so ist wahr.
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Fallunterscheidung Bearbeiten
Sind , , sowie wahr, so ist auch C wahr.
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Reductio ad absurdum Bearbeiten
Folgt aus A sowohl B als auch B, so ist A wahr.
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Übungen Bearbeiten
- Beweisen Sie die Schlussregeln durch Aufstellen der Wahrheitstafeln.
- Könnte man die Widerlegungsregel auch zu umformulieren?