Ladung / Verschiebungsfluss
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Q bzw. q =
Ψ
{\displaystyle \Psi }
. Einheit: [Q ] = C = As (Coulomb = Ampere Sekunde)
Elektrische Elementarladung
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e
=
1,602
17662
⋅
10
−
19
A
s
{\displaystyle e=\,1{,}60217662\cdot 10^{-19}\mathrm {As} }
Die Ladung ist vielfaches der elektrische Elementarladung
e
{\displaystyle e}
Q
=
e
N
mit
N
∈
Z
{\displaystyle Q=eN\quad {\text{mit}}\quad N\in \mathbb {Z} }
λ
(
r
→
)
=
d
Q
d
l
⇔
Q
=
∫
l
λ
(
r
→
)
d
l
.
{\displaystyle \lambda ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} l}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int _{l}\lambda ({\vec {r}})\,\mathrm {d} l.}
Oberflächenladungsdichte
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σ
(
r
→
)
=
d
Q
d
A
⇔
Q
=
∫
A
σ
(
r
→
)
d
A
{\displaystyle \sigma ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} A}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int _{A}\sigma ({\vec {r}})\,\mathrm {d} A}
ρ
(
r
→
)
=
d
Q
d
V
⇔
Q
=
∫
V
ρ
(
r
→
)
d
V
{\displaystyle \rho ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} V}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V}
,
Q
t
o
t
=
∑
i
Q
i
=
∫
V
q
i
⋅
d
V
{\displaystyle Q_{\mathrm {tot} }=\sum _{i}Q_{i}=\int \limits _{V}{q_{i}\,\cdot \,\mathrm {d} V}}
Q
t
o
t
{\displaystyle Q_{\mathrm {tot} }\,}
: Gesamtladung im abgeschlossenen System
Q
i
/
q
i
{\displaystyle Q_{i}/q_{i}}
: Einzelladungen
V
,
d
V
{\displaystyle V,\mathrm {d} V}
: Volumen , w:infinitesimales Volumenelement
Anziehungskraft zweier Punktladungen
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skalar:
F
=
1
4
π
ε
⋅
Q
1
Q
2
r
2
mit
ε
=
ε
0
ε
r
{\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\qquad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\rm {r}}}
vektoriell:
F
→
=
1
4
π
ε
⋅
Q
1
Q
2
r
2
⋅
r
→
r
mit
ε
=
ε
0
ε
r
{\displaystyle {\vec {F}}\,=\,{\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\,\cdot \,{\frac {\vec {r}}{r}}\qquad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\rm {r}}}
ε
{\displaystyle \varepsilon \,}
: w:Permittivität (Dielektrizitätszahl)
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}\,}
: w:elektrische Feldkonstante
=
8,854
18782
⋯
⋅
10
−
12
A
s
V
m
{\displaystyle =\,8{,}85418782\dots \cdot 10^{-12}\,{\frac {\rm {As}}{\rm {Vm}}}}
ε
r
{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }\,}
: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)
π
{\displaystyle \pi \,}
: (Pi) w:Kreiszahl
=
3,141
59265
…
{\displaystyle =\,3{,}14159265\dots }
Q
1
,
Q
2
{\displaystyle Q_{1},Q_{2}}
: Ladungen
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}\,}
: Abstandsw:vektor der Ladungen
r
=
|
r
→
|
{\displaystyle r=|{\vec {r}}|\,}
: Abstand der Ladungen
skalar:
Ψ
=
Q
=
∑
ε
⋅
E
N
⋅
Δ
A
mit
ε
=
ε
0
ε
r
{\displaystyle \Psi =Q=\sum {\varepsilon \,\cdot E_{N}\,\cdot \,\Delta A}\qquad {\textrm {mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}
wenn homogen:
Ψ
=
Q
=
{\displaystyle \Psi =Q=}
A
{\displaystyle A}
D
⋅
d
A
{\displaystyle D\,\cdot \,\mathrm {d} A}
vektoriell:
Ψ
=
Q
=
{\displaystyle \Psi =Q=}
A
{\displaystyle A}
ε
⋅
E
→
⋅
d
A
→
m
i
t
ε
=
ε
0
ε
r
{\displaystyle \varepsilon \,\cdot {\vec {E}}\,\cdot \,{\vec {\mathrm {d} A}}\quad \mathrm {mit} \quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }}
Ψ
=
Q
=
{\displaystyle \Psi =Q=}
A
{\displaystyle A}
D
→
⋅
d
A
→
{\displaystyle {\vec {D}}\,\cdot \,{\vec {\mathrm {d} A}}}
geschlossene Fläche:
Ψ
=
∑
A
Q
e
{\displaystyle \Psi \,=\,\sum _{A}{Q_{e}}}
Q
e
{\displaystyle Q_{e}}
: eingeschlossene Ladung
ε
{\displaystyle \varepsilon \,}
: Permittitvität (Dielektrizitätszahl)
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}\,}
: elektrische Feldkonstante
=
8,854
18782
⋯
⋅
10
−
12
A
s
V
m
{\displaystyle =\,8{,}85418782\dots \cdot 10^{-12}\,{\frac {\mathrm {As} }{\mathrm {Vm} }}}
ε
r
{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }\,}
: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)
E
N
=
|
E
→
|
⋅
cos
(
φ
)
{\displaystyle E_{\mathrm {N} }=|{\vec {E}}|\cdot \,\cos(\varphi )\,}
: Normalkomponente
nach oben
elektrische Feldstärke
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die elektrische Feldstärke (E-Feld) und deren Einheit
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Die elektrische Feldstärke ist eine vektorielle Größe; sie hat somit einen Betrag und eine Richtung.
E
→
Einheit:
V
m
bzw.
N
C
{\displaystyle {\vec {E}}\qquad {\text{Einheit:}}\,{\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {m} }}\quad {\text{bzw.}}\quad {\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {C} }}}
Die Einheiten veranschaulichen die einfachste Berechnungen des E-Feldes:
E
→
=
F
→
q
=
d
U
d
l
→
{\displaystyle {\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{q}}={\frac {\mathrm {d} U}{\vec {\mathrm {d} l}}}}
Feldstärke im Potenzialfeld:
E
→
=
−
grad
(
φ
)
{\displaystyle {\vec {E}}=-\operatorname {grad} (\varphi )}
E-Feld einer Punktladung
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skalar:
E
=
1
4
π
ε
⋅
Q
r
2
mit
ε
=
ε
0
ε
r
{\displaystyle E={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q}{r^{2}}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }}
vektoriell:
E
→
=
1
4
π
ε
⋅
Q
r
2
⋅
r
→
r
mit
ε
=
ε
0
ε
r
{\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q}{r^{2}}}\,\cdot \,{\frac {\vec {r}}{r}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }}
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
: Elektrische Feldkonstante
=
8,854
18782
⋯
⋅
10
−
12
A
s
V
m
{\displaystyle =8{,}85418782\dots \cdot 10^{-12}\,{\frac {\mathrm {As} }{\mathrm {Vm} }}}
ε
r
{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}
: Dielektrizitätszahl
E-Feld eines geladenen Leiters
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äußeres Feld:
skalar:
E
=
Q
2
π
ε
l
r
=
ρ
2
π
ε
r
mit
ρ
=
Q
l
{\displaystyle E={\frac {Q}{2\pi \varepsilon lr}}={\frac {\rho }{2\pi \varepsilon r}}\quad {\text{mit}}\quad \rho ={\frac {Q}{l}}}
vektoriell:
E
→
(
P
)
=
Q
2
π
ε
l
(
p
→
×
e
l
→
)
2
⋅
(
e
l
→
×
(
p
→
×
e
l
→
)
)
=
ρ
2
π
ε
(
p
→
×
e
l
→
)
2
⋅
(
e
l
→
×
(
p
→
×
e
l
→
)
)
mit
e
l
→
=
l
→
|
l
→
|
,
p
→
=
O
P
→
{\displaystyle {\vec {E}}(P)={\frac {Q}{2\pi \varepsilon l({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}})^{2}}}\cdot ({\vec {e_{l}}}\times ({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}}))={\frac {\rho }{2\pi \varepsilon ({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}})^{2}}}\cdot ({\vec {e_{l}}}\times ({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}}))\quad {\text{mit}}\quad {\vec {e_{l}}}={\frac {\vec {l}}{|{\vec {l}}|}},\quad {\vec {p}}={\vec {OP}}}
inneres Feld:
Für eine Statische Ladungsverteilung muss die Summe aller Kräfte auf jede Ladung 0 sein. Da Ladungen im inneren eines Leiters frei beweglich sind gilt, darf es kein Feld geben. Diesem würde jede Ladung folgen, bis auftretende Ladungsverteilungen das Ursprungsfeld kompensieren. Das heißt, dass es keine Potentialdifferenz gibt:
Δ
U
=
0
{\displaystyle \Delta U=0}
.
U
(
r
→
)
=
const.
{\displaystyle U({\vec {r}})={\text{const.}}}
erfüllt diese Bedingung. Wonach das Feld 0 sein muss:
E
→
(
r
→
)
=
−
∇
U
(
r
→
)
=
0
{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=-\nabla U({\vec {r}})=0}
Nach dem Eindeutigkeitssatz, ist dies die richtige Lösung.
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Spannung / Potential
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