Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Fourierreihen für Bernoulli- und Euler-Polynome

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$B_{n}(x)=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}\qquad n\in \mathbb {Z} ^{>0}$

Beweis

Aus der Fourierreihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin kx}{k}}={\frac {\pi -x}{2}}$ ergibt sich unmittelbar der Induktionsanfang für $n=1$:

$B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}=-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin 2k\pi x}{2k\pi }}$


Wegen $B_{n+1}'(t)=(n+1)\,B_{n}(t)\,$ lässt sich die Induktionshypothese auch wie folgt schreiben:

$B_{n+1}'(t)=-2(n+1)!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi t-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}$

Integriere nun beide Seiten nach $t$ von $0$ bis $x$.

$B_{n+1}(x)-B_{n+1}=-2(n+1)!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {(n+1)\pi }{2}}\right)-\cos \left({\frac {(n+1)\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n+1}}}$

Der Induktionsschluß ist erbracht, wenn man gezeigt hat, dass sich

$B_{n+1}\,$ und $-2(n+1)!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left({\frac {(n+1)\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n+1}}}$ gegenseitig aufheben.

Für alle geraden $n>0\,$ verschwinden $B_{n+1}\,$ und $\cos \left({\frac {(n+1)\pi }{2}}\right)$.

Ist $n\,$ ungerade, also $n=2m-1\,$, so bleibt zu zeigen, dass

$B_{2m}=-2\,(2m)!\,\cos(m\pi )\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(2k\pi )^{2m}}}=2\,(-1)^{m-1}\,(2m)!\,{\frac {\zeta (2m)}{(2\pi )^{2m}}}$ ist.

Diese Formel wurde hier gezeigt.

 

$E_{n-1}(x)=4(n-1)!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos \left((2k+1)\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{((2k+1)\pi )^{n}}}\qquad n\in \mathbb {Z} ^{>0}$

Beweis

Aus der Fourierreihe $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(2k+1)x}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}}$ ergibt sich unmittelbar der Induktionsanfang für $n=1$:

$E_{0}(x)=1=4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(2k+1)\pi x}{(2k+1)\pi }}$


Wegen $E_{n}'(t)=n\,E_{n-1}(t)\,$ lässt sich die Induktionshypothese auch wie folgt schreiben:

$E_{n}'(t)=4n!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos \left((2k+1)\pi t-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{((2k+1)\pi )^{n}}}$

Integriere nun beide Seiten nach $t$ von $0$ bis $x$.

$E_{n}(x)-E_{n}(0)=4n!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos \left((2k+1)\pi x-{\frac {(n+1)\pi }{2}}\right)-\cos \left({\frac {(n+1)\pi }{2}}\right)}{((2k+1)\pi )^{n+1}}}$

Der Induktionsschluß ist erbracht, wenn man gezeigt hat, dass sich

$E_{n}(0)\,$ und $4n!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos \left({\frac {(n+1)\pi }{2}}\right)}{((2k+1)\pi )^{n+1}}}$ gegenseitig aufheben.

Für alle geraden $n>0\,$ verschwinden $E_{n}(0)\,$ und $\cos \left({\frac {(n+1)\pi }{2}}\right)$.

Ist $n\,$ ungerade, also $n=2m-1\,$, so bleibt zu zeigen, dass

$E_{2m-1}(0)=4\,(2m-1)!\,\cos(m\pi )\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{((2k+1)\pi )^{2m}}}=4\,(-1)^{m}\,(2m-1)!\,{\frac {\lambda (2m)}{(2\pi )^{2m}}}$ ist.

Dabei ist $\lambda (2m)=\left(1-{\frac {1}{2^{2m}}}\right)\zeta (2m)={\frac {2^{2m}-1}{2^{2m}}}\,{\frac {(-1)^{m-1}\,B_{2m}\,\pi ^{2m}\,2^{2m-1}}{(2m)!}}$.

Es bleibt also zu zeigen, dass $E_{2m-1}(0)=-{\frac {(2^{2m}-1)\,B_{2m}}{m}}$ ist.