Formelsammlung Mathematik: Kurven

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Parameterkurven

Sei $X$ ein topologischer Raum und $I$ ein reelles Intervall, geschlossen, offen oder halboffen, auch unbeschränkt.

Definition. Parameterkurve, Spur.

Eine stetige Funktion $c\colon I\to X$ heißt Parameterkurve. Die Bildmenge von $c(I)$ heißt Spur.

Definition. Weg, geschlossener Weg, einfacher Weg.

Eine Parameterkurve $c\colon I\to X$ mit einem kompakten Intervall $I=[a,b]$ heißt Weg.

Man nennt $c(a)$ den Anfangspunkt und $c(b)$ den Endpunkt. Ist $c(a)=c(b)$, so spricht man von einem geschlossenen Weg.

Ein Weg, dessen Einschränkung auf $[a,b)$ injektiv ist, heißt einfach, auch doppelpunktfrei oder Jordan-Weg.

Beispiele
Parameterkurve	Eigenschaften	Spur
$c(t):={\begin{bmatrix}\cos t\\\sin t\end{bmatrix}},\;c\colon [0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}$	Ein einfacher geschlossener Weg.	Der Einheitskreis.
$c(t):={\begin{bmatrix}\cos t\\\sin(2t)/2\end{bmatrix}},\;c\colon [0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}$	Ein geschlossener Weg mit Doppelpunkt.	Die Lemniskate von Gerono.

Anstelle von $c(t)$ ist auch die Bezeichnung $\gamma (t)$ üblich.

Differenzierbare Parameterkurven

Definition. Differenzierbare Parameterkurve, Tangentialvektor.

Die Parameterkurve $c\colon I\to \mathbb {R} ^{n}$ heißt differenzierbar an der Stelle $t$, wenn der Grenzwert

$c'(t):=\lim _{h\to 0}{\frac {c(t+h)-c(t)}{h}},$

existiert. Dieser Grenzwert wird als Tangentialvektor bezeichnet.

Eine Parameterkurve $c(t)$ ist stetig differenzierbar, wenn die Ableitungsfunktion $c'(t)$ stetig (also wieder eine Parameterkurve) ist. Die Klasse $C^{1}(I)$ besteht aus allen stetig differenzierbaren Parameterkurven, die Klasse $C^{2}(I)$ aus allen zweimal stetig differenzierbaren usw. und $C^{\infty }(I)$ besteht aus glatten, d. h. unendlich oft differenzierbaren Parameterkurven.

Eine Parameterkurve ist genau dann differenzierbar, wenn sie komponentenweise differenzierbar ist und für

$c(t)=(c_{1}(t),\ldots ,c_{n}(t))$

gilt

$c'(t)=(c_{1}'(t),\ldots ,c_{n}'(t)).$

Definition. Reguläre Parameterkurve.

Eine differenzierbare Parameterkurve heißt regulär an der Stelle t, wenn $c'(t)\neq 0$ gilt. Die Parameterkurve heißt regulär, wenn sie an jeder Stelle regulär ist.

Eine hinreichend oft differenzierbare Parameterkurve heißt regulär an der Stelle t von der Ordnung m, wenn

$\{c'(t),c''(t),\ldots ,c^{(m)}(t)\}$

linear unabhängig ist.

Interpretiert man eine Parameterkurve $c(t)$ als eine Bewegung eines Massepunktes mit der Zeit $t$, so handelt es sich beim Tangentialvektor um den Geschwindigkeitsvektor.

Definition. Parametertransformation, Umparametrisierung.

Seien $c_{1}\colon I_{1}\to X$ und $c_{2}\colon I_{2}\to X$ zwei $C^{k}$-Parameterkurven. Ein $C^{k}$-Diffeomorphismus $\varphi \colon I_{1}\to I_{2}$ heißt Parametertransformation. Gilt $c_{1}=c_{2}\circ \varphi$, so spricht man von einer Umparametrisierung. Man definiert eine Äquivalenzrelation: Zwei Parameterkurven sind äquivalent, wenn es eine Umparametrisierung gibt, welche die eine in die andere überführt.

Gilt $\varphi '(t)>0$ für ein $t$ und somit für alle $t$, so heißt $\varphi$ orientierungserhaltend. Im Fall $\varphi '(t)<0$ nennt man $\varphi$ orientierungsumkehrend.

Alle Repräsentanten einer Äquivalenzklasse besitzen die selbe Spur.

Bogenlänge

Definition. Rektifizierbarer Weg, Bogenlänge.

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und sei $c\colon [a,b]\to X$ ein Weg. Man nennt $c$ rektifizierbar, wenn

$L_{a}^{b}(c):=\sup {\bigg \{}\sum _{k=0}^{n-1}d(c(t_{k}),c(t_{k+1}))\;{\bigg |}\;n\in \mathbb {N} \;{\text{und}}\;a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b{\bigg \}}$

endlich ist. Die Zahl $L_{a}^{b}(c)$ heißt Länge des Weges.

Sei $c\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ ein Weg. Ist c stückweise stetig differenzierbar, dann ist c auch rektifizierbar und für die Länge gilt

$L_{a}^{b}(c):=\int _{a}^{b}\|c'(t)\|\,\mathrm {d} t.$