Beweisarchiv: Lie-Algebren: Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen

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Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen


Definitionen und Aussage des KlassifikationssatzesBearbeiten

Definitionen: Eine Teilmenge R eines Vektorraums V über einem Körper K der Charakteristik 0 heißt Wurzelsystem, falls sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

  1. R ist endlich.
  2. R ist ein lineares Erzeugendensystem von V.
  3. Zu jedem \alpha aus R gibt es eine Linearform \alpha^\vee\in V^* mit den Eigenschaften:
    • Für \beta\in R ist \alpha^\vee(\beta)\in\mathbb{Z} .
    • \alpha^\vee(\alpha)=2
    • Die lineare Abbildung s_\alpha\colon V\to V mit s_\alpha(x)=x-\alpha^\vee(x)\cdot\alpha bildet R auf R ab.

Ein reduziertes Wurzelsystem liegt vor, falls zusätzlich gilt

4. Sind zwei Wurzeln \alpha,\beta linear abhängig, so gilt \alpha=\pm\beta.

Die Dimension von V heißt der Rang des Wurzelsystems.


Sind R_1\subseteq V_1, R_2\subseteq V_2 zwei Wurzelsysteme vom Rang n_1, n_2, so ist R_1\cup R_2\subseteq V_1\oplus V_2 ein Wurzelsystem vom Rang n_1+n_2 und heißt die direkte Summe von R_1 und R_2. Läßt sich R als direkte Summe nicht-leerer Wurzelsysteme schreiben, so heißt R reduzibel. Ist R weder leer und noch reduzibel, so heißt R irreduzibel


Satz (Klassifikation von reduzierten Wurzelsystemen): Jedes Wurzelsystem ist die direkte Summe endlich vieler irreduzibler Wurzelsysteme. Jedes irreduzible reduzierte Wurzelsystem ist (auf weiter unten beschriebene Weise) vom Typ A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4 oder G_2.


Die Zerlegbarkeit in irreduzible Wurzelsysteme ist hierbei klar. Die Arbeit liegt in der Klassifikation der irreduziblen Komponenten.

HilfssätzeBearbeiten

Eindeutigkeit der Reflexionen und KowurzelnBearbeiten

Hilfssatz/Definition: Zu jedem \alpha\in R sind die Abbildungen \alpha^\vee und s_\alpha aus der Definition eindeutig bestimmt. s_\alpha ist eine Involution. Man bezeichnet \alpha^\vee als die Kowurzel zu \alpha und s_\alpha als die zu \alpha gehörige Reflexion.

Beweis: Sei zu \alpha\in R neben \alpha^\vee auch f eine Abbildung mit den geforderten Eigenschaften. Für die entsprechend definierte Abbildung g\colon V\to V, v\mapsto v-f(v)\alpha gilt insbesondere ebenfalls g(R)\subseteq R. Dann gilt (s_\alpha\circ g)(R)\subseteq R und speziell (s_\alpha\circ g)(\alpha)=\alpha. Ist jetzt \beta\in R so folgt g(\beta)=\beta-f(\beta)\alpha und daher (s_\alpha\circ g)(\beta+x\alpha)=s_\alpha(\beta-(f(\beta)+x)\alpha)=\beta+(f(\beta)-\alpha^\vee(\beta)+x)\alpha, d.h. auf der affinen Gerade \beta+\alpha K ist s_\alpha\circ g eine Translation um (f(\beta)-\alpha^\vee(\beta))\alpha. Da diese die nicht-leere endliche Menge R\cap(\beta+\alpha K) invariant lassen muss, ist diese Translation die Identität, wegen \alpha\neq 0 folgt daher f(\beta)=\alpha^\vee(\beta). Aus der Übereinstimmung auf dem Erzeugendensystem R folgt dann insgesamt f=\alpha^\vee und ebenso g=s_\alpha.

Da s_\alpha\circ s_\alpha sowohl auf dem 1-codimensionalen Unterraum \ker \alpha^\vee als auch auf dem nicht darin liegenden \alpha die Identität ist, ist s_\alpha\circ s_\alpha insgesamt die Identität, also s_\alpha eine Involution. \Box

Korollar: Für alle \alpha,\beta\in R ist s_{s_\beta(\alpha)} = s_\beta\circ s_\alpha\circ s_\beta und (s_\alpha(\beta))^\vee=\beta^\vee\circ s_\alpha. Für alle \alpha\in R ist s_{-\alpha} = s_\alpha und (-\alpha)^\vee = -(\alpha^\vee).

Beweis: Die Abbildung s_\beta\circ s_\alpha\circ s_\beta stimmt auf dem 1-kodimensionalen Raum s_\beta(\ker \alpha^\vee) mit s_\beta\circ s_\beta = 1 überein und bildet s_\beta(\alpha) auf -s_\beta(\alpha) ab.

Zu beliebigem \gamma\in R setze \delta=s_\beta(\gamma). Dann ist

(s_\beta\circ s_\alpha\circ s_\beta)(\gamma) = s_\beta(s_\alpha(\delta)) = s_\beta(\delta-\alpha^\vee(\delta)\alpha) = s_\beta(\delta) - \alpha^\vee(\delta)s_\beta(\alpha) = \gamma - \alpha^\vee(s_\beta(\gamma)) s_\beta(\alpha).

Aus der Ganzzahligkeit von \alpha^\vee(s_\beta(\gamma)) und der Eindeutigkeit der zu s_\beta(\alpha) gehörenden Kowurzel und Reflexion folgt (s_\beta(\alpha))^\vee=\alpha^\vee\circ s_\beta und s_{s_\beta(\alpha)} = s_\beta\circ s_\alpha\circ s_\beta.

Die weiteren Aussagen erhält man im Spezialfall \beta=\alpha. \Box

Duales WurzelsystemBearbeiten

Satz: Ist R\subseteq V ein Wurzelsystem, so ist auch R^\vee:=\{\alpha^\vee\mid\alpha\in R\}\subseteq V^* ein Wurzelsystem.

Beweis: Zunächst ist R^\vee eine endliche Teilmenge von V^*.

Zu \alpha^\vee\in R^\vee definieren wir die lineare Abbildung (\alpha^\vee)^\vee\colon V^*\to K, f\mapsto f(\alpha) und die zugehörige Reflexion s\colon V^*\to V^*, f\mapsto f-f(\alpha)\cdot \alpha^\vee.

Ist jetzt \beta^\vee\in R^\vee, so ist zunächst (\alpha^\vee)^\vee(\beta^\vee)=\beta^\vee(\alpha) stets ganzzahlig, speziell ist (\alpha^\vee)^\vee(\alpha^\vee) = \alpha^\vee(\alpha) = 2.

Weiter gilt für v\in V stets s(\beta^\vee)(v) = \beta^\vee(v)-\beta^\vee(\alpha)\cdot\alpha^\vee(v)= \beta^\vee(v-\alpha^\vee(v)\alpha)= \beta^\vee(s_\alpha(v)), also s(\beta^\vee) = \beta^\vee\circ s_\alpha = (s_\alpha(\beta))^\vee \in R^\vee.

Somit ist R^\vee zumindest in einem möglicherweise niederdimensionalen Unterraum von V^* ein Wurzelsystem. Da aber ganz klar (R^\vee)^\vee über die kanonische Isomorphie {V^*}^*=V wieder R ergibt, muß dieser Unterraum ganz V^* sein. \Box

Weyl-GruppeBearbeiten

Da die s_\alpha Involutionen, also Automorphismen von V sind, ist es sinnvoll, die Weyl-Gruppe, d.i. die von \{s_\alpha\mid \alpha\in R\} erzeugte Untergruppe W\leq \operatorname{GL}(V), zu betrachten.

Hilfssatz: Die Weyl-Gruppe W operiert treu auf R und ist endlich.

Beweis: Da für die Erzeugenden bereits s_\alpha(R)\subseteq R und wegen der Invertierbarkeit sogar s_\alpha(R)=R gilt, erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus W\to\operatorname{Sym}(R), also eine Operation von W auf R. Da R ein Erzeugendensystem von V ist, operiert hierbei nur die Identität von V trivial auf R, d.h. die Operation ist treu. Dann ist aber W\to\operatorname{Sym}(R) eine injektive Abbildung in eine endliche Gruppe, also ist W endlich. \Box

Beziehung zwischen zwei WurzelnBearbeiten

Hilfssatz: Sind \alpha,\beta zwei Wurzeln eines reduzierten Wurzelsystems, so gilt

  • \alpha = \pm\beta oder
  • \alpha^\vee(\beta) = \beta^\vee(\alpha)\in \{-1,0,1\} oder
  • einer der Werte \alpha^\vee(\beta), \beta^\vee(\alpha) ist 1 und der andere ist 2 oder 3 oder
  • einer der Werte \alpha^\vee(\beta), \beta^\vee(\alpha) ist -1 und der andere ist -2 oder -3

Falls das Wurzelsystem nicht reduziert ist, gibt es noch die Möglichkeit

  • \alpha=\pm2\beta oder umgekehrt.

Beweis: Seien zunächst \alpha,\beta linear abhängig, etwa \alpha=t\beta. Dann folgt s_\alpha(\beta)=-\beta, also \alpha^\vee(\beta)=2t gilt. Ebenso folgt aus s_\beta(\alpha)=-\alpha, dass \beta^\vee(\alpha)=\frac 2t. Dass beide Werte ganzzahlig sind, ist nur für t\in\{-2,-1,-\frac 12,\frac 12,1,2\} möglich. Bei einem reduzierten Fall folgt sogar direkt aus der Definition, dass nur t\in\{-1,1\} möglich ist.

Falls dagegen \alpha, \beta linear unabhängig sind, werden die zugehörigen Reflexionen auf \alpha K+\beta K bezüglich der Basis (\alpha,\beta) durch


s_\alpha = \left(\begin{matrix}
-1&-\alpha^\vee(\beta)\\
0&1
\end{matrix}\right),\;
s_\beta = \left(\begin{matrix}
1&0\\
-\beta^\vee(\alpha)&-1
\end{matrix}\right)

als Matrizen beschrieben. Das Produkt

s_\alpha\circ s_\beta= \left(\begin{matrix}
\alpha^\vee(\beta)\beta^\vee(\alpha)-1&\alpha^\vee(\beta)\\
-\beta^\vee(\alpha)&-1
\end{matrix}\right)

muß wegen der Endlichkeit von W endliche Ordnung haben, d.h. alle Eigenwerte in \overline K sind Einheitswurzeln. Insbesondere kann die Spur \alpha^\vee(\beta)\beta^\vee(\alpha)-2 nur Werte in \{-2,-1,0,1,2\} annehmen. Ist die Spur 2 oder -2, muß s_\alpha\circ s_\beta sogar konjugiert zu (und damit sogar gleich) \pmEinheitsmatrix sein. Dies bedeutet für die Einträge außerhalb der Diagonalen \alpha^\vee(\beta)=\beta^\vee(\alpha)=0 und wird vom zweiten Fall erfaßt. Ansonsten gilt also \alpha^\vee(\beta)\cdot\beta^\vee(\alpha)\in\{1,2,3\}. Da \alpha^\vee(\beta) und \beta^\vee(\alpha) ganzzahlig sind, kommen nur Produktzerlegungen in Betracht, die von den Fällen 2 bis 4 abgedeckt werden. \Box

Korollar: Sind \alpha,\beta\in R zwei verschiedene Wurzeln mit \alpha^\vee\beta>0, so ist \alpha^\vee(\beta)=1 oder \beta^\vee(\alpha)=1.

Beweis: In den meisten Fällen des Hilfssatzes ist die Aussage bereits unmittelbar angegeben. Ist \alpha=\pm\beta, so ist \alpha=\beta von den Voraussetzungen ausgeschlossen und wegen \alpha^\vee(-\alpha)=-\alpha^\vee(\alpha)=-2<0 der Fall \alpha=-\beta ebenfalls. Gilt \alpha=2\beta, so folgt s_\alpha(\beta)=-\beta=\beta-\alpha, also \alpha^\vee(\beta)=1. \Box

Korollar: Sind \alpha,\beta\in R zwei verschiedene Wurzeln und ist \alpha^\vee\beta>0, so ist \alpha-\beta\in R. Ist \alpha\neq-\beta und \alpha^\vee\beta<0, so ist \alpha+\beta\in R.

Beweis: Seien \alpha,\beta\in R verschiedene Wurzeln mit\alpha^\vee\beta>0. Entweder ist \alpha^\vee\beta=1 und es folgt \alpha-\beta=-s_\alpha(\beta)\in R. Oder es gilt \beta^\vee\alpha=1 und folglich \alpha-\beta=s_\beta(\alpha)\in R. Die zweite Aussage erhält man, indem man \beta durch -\beta ersetzt. \Box


SkalarproduktBearbeiten

Satz: Es gibt auf V ein positiv definites W-invariantes Skalarprodukt \langle\cdot,\cdot\rangle. Für jedes solche Skalarprodukt gilt s_\alpha(v) = v - 2\frac{\langle\alpha,v\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle} \alpha für alle \alpha\in R, v\in V. Ferner gilt für \alpha,\beta\in R stets \langle\alpha,\beta\rangle\lesseqqgtr 0 \iff \alpha^\vee\beta\lesseqqgtr 0 \iff \beta^\vee\alpha\lesseqqgtr 0.


Beweis: Setze m=|R|. Dann haben wir eine lineare Abbildung \phi\colon V\to K^m, v\mapsto (\alpha^\vee(v))_{\alpha\in R}. Ist \langle\cdot,\cdot\rangle_{K^m} das Standardskalarprodukt auf K^m, so definieren wir durch \langle v_1, v_2\rangle=\langle \phi(v_1), \phi(v_2)\rangle_{K^m} für alle v_1,v_2\in V ein Skalarprodukt auf V:

  • Die Bilinearität (bzw. Sesquilinearität) überträgt sich direkt von \langle\cdot,\cdot\rangle_{K^m}.
  • Zu jedem v\in V\setminus\{0\} gibt es ein f\in V^* mit f(v)\neq 0. Da R^\vee\subseteq V^* ein Erzeugendensystem ist, gibt es dann auch ein \alpha\in R mit \alpha^\vee(v)\neq 0. Somit ist \phi(v)\neq 0 und \langle v, v\rangle=\langle \phi(v), \phi(v)\rangle_{K^m}>0. Somit ist \langle\cdot,\cdot\rangle positiv definit.
  • Die Operation der Weylgruppe permutiert die \alpha^\vee. Dem entspricht im K^m eine Permutation der Koordinaten. Hierunter ist das Standardskalarprodukt invariant, so dass \langle\cdot,\cdot\rangle folglich W-invariant ist.

Sei jetzt \langle\cdot,\cdot\rangle ein positiv definites W-invariantes Skalarprodukt auf V. Falls \alpha\in R und v\in\ker\alpha^\vee, so folgt \langle\alpha,v\rangle = \langle s_\alpha(\alpha),s_\alpha(v)\rangle = \langle-\alpha,v\rangle = -\langle\alpha,v\rangle, also \langle\alpha,v\rangle=0. Wegen \alpha^\vee(\alpha) = 2 ist \alpha\ne 0, also \langle\alpha,\alpha\rangle>0 und wir können die lineare Abbildung v\mapsto v - 2\frac{\langle\alpha,v\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle} \alpha definieren. Diese stimmt auf \ker \alpha^\vee mit s_\alpha überein. Da außerdem \alpha-2\frac{\langle\alpha,\alpha\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle} \alpha = -\alpha = s_\alpha(\alpha) gilt, folgt s_\alpha(v)=v - 2\frac{\langle\alpha,v\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle} \alpha für alle v\in V.

Die letzte Aussage folgt schließlich aus \alpha^\vee(\beta)=2\frac{\langle\alpha,\beta\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle} und \frac 2{\langle\alpha,\alpha\rangle} >0. \Box

Es wurde im Beweis des Satzes zwar explizit ein Skalarprodukt konstruiert, es gibt aber durchaus mehrere positiv definite W-invariante Skalarprodukte auf V. Allgemein ist das Skalarprodukt allenfalls bis auf einen positiven Faktor je irreduzibler Komponente festgelegt.

Positive Wurzeln und FundamentalsystemeBearbeiten

Definition: Eine Linearform h\colon V\to K heißt Höhenfunktion, falls für \alpha\in R stets h(\alpha)\ne 0 gilt.

Definition: Eine Teilmenge R^+\subseteq R heißt System positiver Wurzeln, falls R die disjunkte Vereinigung von R^+ und -R^+ ist und aus \alpha,\beta\in R^+ und \alpha+\beta\in R stets \alpha+\beta\in R^+ folgt.

Definition: Eine Teilmenge \Pi\subseteq R heißt Basis des Wurzelsystems oder auch (um Verwechselungen mit Vektorraumbasen von V zu vermeiden) Fundamentalsystem von Wurzeln, falls gilt:

  • \Pi ist eine Vektorraum-Basis von V
  • Ist \beta\in R und \beta=\sum_{\alpha\in\Pi}a_\alpha\alpha so sind die a_\alpha ganz und entweder alle nicht-negativ oder alle nicht-positiv.

Hat man ein Fundmentalsystem \Pi, so definiert h\colon\sum_{\alpha\in\Pi} a_\alpha\alpha\mapsto \sum_{\alpha\in\Pi} a_\alpha offenbar eine Höhenfunktion. Wir werden jedoch umgekehrt von den Höhenfunktionen ausgehen und daraus ein Fundamentalsystem konstruieren.


Hilfssatz: Es gibt Höhenfunktionen.

Beweis: Wir werden sogar eine Höhenfunktion mit Werten in \mathbb Z finden.

Die Menge aller Linearformen f\in V^* mit f(R)\subseteq \mathbb{Z} ist nicht leer (enthält beispielsweise die Nullabbildung). Unter diesen sei f so gewählt, dass die natürliche Zahl |R\cap\ker f| minimal ist.

Sei \alpha\in R beliebig und die natürliche Zahl N so gewählt, dass |a^\vee\beta|<N für alle \beta\in R. Dann ist g=Nf+\alpha^\vee eine Linearform. Ist jetzt \beta\in R, so folgt g(\beta)=Nf(\beta)+\alpha^\vee(\beta)\in\mathbb{Z}. Falls hierbei g(\beta)=0 gilt, folgt |f(\beta)| = |\alpha^\vee(\beta)|/N < 1, also f(\beta)=0. Es ist also R\cap\ker g\subseteq R\cap\ker f und wegen der Minimalität von f sogar R\cap\ker g=R\cap\ker f. Wegen 0<\alpha^\vee(\alpha)<N ist g(\alpha) kein Vielfaches von N, also insbesondere g(\alpha)\neq 0 und somit \alpha\not\in \ker f. Da \alpha\in R beliebig war, ist R\cap\ker f leer und f eine Höhenfunktion. \Box


Wir wählen jetzt eine feste Höhenfunktion h und setzen R^+=\{\alpha\in R\mid h(\alpha)>0\}. Dies ist dann ein System positiver Wurzeln. Wegen R=R^+\cup -R^+ ist auch R^+ ein Erzeugendensystem. Unter den in R^+ enthaltenen Vektorraum-Basen von V sei \Pi so gewählt, dass \sum_{\alpha\in\Pi}h(\alpha) minimal wird. Wir werden zeigen, dass diese Basis \Pi ein Fundamentalsystem von Wurzeln ist.

Hilfssatz: Ist \alpha\in R, so tritt höchstens einer der folgenden Fälle ein:

  • Es gibt \beta,\gamma\in R^+ mit \alpha=\beta+\gamma
  • \alpha\not\in R^+
  • \alpha\in\Pi

Es gilt also R = (R^++R^+) \cup (-R^+) \cup \Pi.

Beweis: Wegen \Pi\subseteq R^+ können die letzten beiden Fälle nicht zugleich auftreten. Ist \alpha=\beta+\gamma mit \alpha,\beta,\gamma\in R^+ so ist insbesondere 0<h(\beta)<h(\alpha) und 0<h(\gamma)<h(\alpha). Auf jeden Fall ist \alpha\in R^+. Wäre \alpha\in\Pi so erhielte man, wenn man \alpha durch \beta bzw. \gamma ersetzt, in mindestens einem der beiden Fälle wieder eine Basis von V. Diese hätte jedoch eine kleinere Gesamthöhe als \Pi im Widerspruch zur Minimalität. Somit tritt also höchstens einer der drei Fälle ein. \Box


Korollar: Sind \pi,\rho\in\Pi verschiedene Elemente von \Pi, so gilt \langle\pi,\rho\rangle\leq 0.

Beweis: Ansonsten wäre nämlich \pi^\vee\rho> 0 und \pi-\rho\in R, also entweder \pi-\rho\in R^+ oder \rho-\pi\in R^+, d.h. ein Element von \Pi wäre die Summe zweier positiver Wurzeln. \Box


Hilfssatz: Ist S\subseteq R^+ eine Teilmenge der positiven Wurzeln mit \langle\alpha,\beta\rangle\leq 0 für alle \alpha,\beta\in S mit \alpha\neq\beta, so ist S linear unabhängig.

Beweis: Seien zunächst \alpha,\beta\in R^+ zwei linear abhängige positive Wurzeln, also \alpha=t\beta. Wegen h(\alpha)=th(\beta) folgt t>0 und somit \langle\alpha,\beta\rangle> 0. Somit gilt der Hilfssatz gewiß für |S|\leq 2.

Von hier ausgehend führen wir den Beweis per Induktion nach |S|:

Seien a_\alpha\in K Koeffizienten mit

\sum_{\alpha\in S}a_\alpha\cdot\alpha=0.

Es ist zu zeigen, dass alle a_\alpha=0 sind.

Falls für \alpha\neq\beta stets \langle\alpha,\beta\rangle=0 gilt, so folgt durch Skalarmultiplikation mit \alpha sofort a_\alpha\langle\alpha,\alpha\rangle=0 also a_\alpha=0.

Ansonsten gibt es zwei positive Wurzeln \beta,\gamma\in S mit \langle\beta,\gamma\rangle< 0. Dann ist aber auch \beta+\gamma\in R^+. Wegen \langle\beta+\gamma,\alpha\rangle=\langle\beta,\alpha\rangle+\langle\gamma,\alpha\rangle\leq 0 für alle \alpha\in S\setminus\{\beta,\gamma\} ist nach Induktionsvoraussetzung (S\setminus\{\beta,\gamma\})\cup\{\beta+\gamma\} linear unabhängig. Somit folgt a_\beta+a_\gamma=0 und a_\alpha=0 für \alpha\in S\setminus\{\beta,\gamma\}. Insbesondere folgt a_\beta\beta+a_\gamma\gamma=0 und hieraus wiederum auch a_\beta=a_\gamma=0 (Fall |S|=2). \Box


Hilfssatz: Ist \alpha\in R so tritt genau einer der folgenden Fälle ein:

  • Es gibt \beta,\gamma\in R^+ mit \alpha=\beta+\gamma
  • \alpha\not\in R^+
  • \alpha\in\Pi

Es gilt also insbesondere \Pi=R^+\setminus(R^++R^+).

Beweis: Wir haben „höchstens einer“, also auch \Pi\subseteq R^+\setminus(R^++R^+), bereits gezeigt.

Um „mindestens einer“ zu zeigen, nehmen wir an, dass R^+\setminus\bigl((R^++R^+)\cup\Pi\bigr) nicht leer ist, und es sei \alpha ein Element hiervon mit minimaler Höhe.

Sei \pi\in\Pi. Da weder \pi noch \alpha Summe positiver Wurzeln ist, kann weder \pi-\alpha\in R^+ noch \alpha-\pi\in R^+ gelten, somit folgt \pi-\alpha\not\in R. Dies bedeutet, dass \langle\pi,\alpha\rangle nicht positiv sein kann.

Folglich gilt \langle\alpha,\pi\rangle\leq 0 für alle \pi\in\Pi. Aber dann ist \Pi\cup\{\alpha\} linear unabhängig, was wegen \alpha\not\in\Pi im Widerspruch zur Basiseigenschaft von \Pi steht.

Es folgt R^+\setminus\bigl((R^++R^+)\cup\Pi\bigr)=\emptyset und die Behauptung des Hilfssatzes. \Box


Satz: \Pi ist ein System von Fundamentalwurzeln.

Beweis: Dass \Pi eine Vektorraumbasis ist, ist klar. Dass jede positive Wurzel als nicht-negative ganze Linearkombination darstellbar ist, zeigen wir durch Induktion über die Höhe (die zwar reelle Werte annimmt, aber nur endlich viele verschiedene).

Sei also \alpha\in R^+ und für alle positiven Wurzeln geringerer Höhe sei die Darstellbarkeit schon bekannt. Ist \alpha\in\Pi, so liegt trivialerweise eine nicht-negative ganze Linearkombination vor. Ansonsten gilt \alpha=\beta+\gamma mit \beta,\gamma\in R^+. Wegen h(\beta)=h(\alpha)-h(\gamma)<h(\alpha) und ebenso h(\gamma)<h(\alpha) werden \beta und \gamma durch nicht-negative ganze Linearkombinationen dargestellt. Durch Addition ergibt sich eine ebensolche für \alpha

Durch Induktion folgt somit die Darstellbarkeit aller positiven Wurzeln als nicht-negative ganze Linearkombination und entsprechend aller negativen Wurzeln als nicht-positive ganze Linearkombination. \Box

RationalitätBearbeiten

Der K-Vektorraum V ist auch ein (i.a. unendlich-dimensionaler) \mathbb{Q}-Vektorraum. Sei U der von R erzeugte \mathbb{Q}-Unterraum hiervon. Da es ein Fundamentalsystem \Pi\subseteq R gibt, sind alle Relationen zwischen den Wurzeln schon über \mathbb{Q} definiert, insbesondere ist \dim_\mathbb{Q} U=\dim_K V und daher R\subseteq U ein Wurzelsystem vom selben Rang und in weitem Sinne derselben inneren Struktur wie das ursprüngliche. (Formal gewinnt man die ursprüngliche Situation durch Tensorieren mit K zurück, V\cong U\otimes_\mathbb{Q}K). Für die strukturelle Untersuchung von Wurzelsystemen darf daher K=\mathbb{Q} oder wahlweise auch K=\mathbb{R} vorausgesetzt werden.


Weyl-Kammern und Operation der Weyl-Gruppe auf der Menge der FundamentalsystemeBearbeiten

Wir nehmen an, dass K=\mathbb R gilt.

Dann wird V für \alpha\in R durch die Hyperebene \ker\alpha^\vee jeweils in zwei Halbräume zerlegt, insgesamt also in endlich viele konvexe Teilmengen, die sogenannten Weylkammern.

Weylkammern stehen mit Fundamentalsystemen auf folgende Weise in Beziehung:

Ist \Pi ein Fundamentalsystem, so ist C(\Pi):=\{x\in V\mid\forall\pi\in\Pi\colon\langle\pi,x\rangle>0\} eine Weylkammer. Wäre nämlich x\in C(\Pi) ein Vektor mit x\in\ker\alpha^\vee für ein \alpha\in R, so folgt aus \alpha=\sum_{\pi\in\Pi}a_\pi\pi auch \sum_{\pi\in\Pi}a_\pi\langle\pi,x\rangle=0. Hierbei sind aber alle Summanden nicht-negativ oder alle nicht-positiv und mindestens ein Summand nicht 0. Dies ist ein Widerspruch, also wird C(\Pi) nicht weiter durch Hyperebenen unterteilt.

Ist C eine Weylkammer und x\in C, so definiert h(v):=\langle x,v\rangle eine Höhenfunktion und somit auch ein Fundamentalsystem \Pi(C). Ist x'\in C ein anderer Punkt der Weylkammer, so ergibt sich zwar eine andere Höhenfunktion, aber wenigstens dasselbe System R^+ positiver Wurzeln. Da \Pi=R^+\setminus(R^++R^+) hieraus rekonstruierbar ist, ergibt sich auch dasselbe Fundamentalsystem, und wir können also jeder Weylkammer ein Fundamentalsystem zuordnen.

Offensichtlich sind diese beiden Zuordnungen invers zueinander, so dass hierüber die Menge der Weylkammern und die Menge der Fundamentalsysteme in Bijektion stehen.


Satz: Die Weylgruppe operiert transitiv auf der Menge der Weylkammern sowei auf der Menge de Fundamentalsysteme. Ist \Pi ein Fundamentalsystem, so wird W durch die s_\pi mit \pi\in\Pi erzeugt.

Beweis: Ist C eine Weylkammer und w\in W, so wird gewiß w(C) durch keine Hyperebene \ker\alpha^\vee zerteilt, denn dann würde C durch \ker(\alpha^\vee\circ w) = \ker(w^{-1}(\alpha))^\vee zerteilt. Durch die Bijektivität folgt, dass w Weylkammern in Weylkammern abbildet.

Seien C_0,C_1 zwei Weylkammern und sei x_0\in C_0. Falls \alpha,\beta\in R linear unabhängig sind, stimmen die Orthogonalräume \ker\alpha^\vee,\ker\beta^\vee nicht überein, also ist \ker\alpha^\vee\cap\ker\beta^\vee ein 2-kodimensionaler Unterraum und (\ker\alpha^\vee\cap\ker\beta^\vee)-x_0 in einem 1-kodimensionalen Unterraum enthalten. Da C_1 offen ist, gibt es ein x_1\in C_1 so dass x_1-x_0 in keinem dieser endlich vielen 1-kodimensionalen Unterräume enthalten ist. Dann gibt es endlich viele reelle Zahlen t\in]0,1[ derart, dass x(t):=x_0+t(x_1-x_0) in einem \ker\alpha^\vee enthalten ist. Sei T=\{t\in\,]0,1[\,\mid\exists\alpha\in R\colon \alpha^\vee(x(t))=0\}. Zu t\in T gibt es bis auf skalar Vielfache nur ein \alpha\in R mit \alpha^\vee(x(t))=0.

Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über |T|, dass C_1=w(C_0) für ein w\in\langle s_\pi\rangle_{\pi\in\Pi(C_0)} Hierbei ist der Fall, wenn T leer ist, trivial. Ansonsten sei t_m das kleinste Element von T. Dann liegt x(t_m) in \ker\rho^\vee für ein \rho\in\Pi(C_0). Für hinreichend kleines \epsilon>0 ist T\cap\,]t_m,t_m+\epsilon[ leer. Für t_2\in\,]t_m,t_m+\epsilon[ liegt x_2:=x(t_2) in C_2:=s_\rho(C_0)=C(s_\rho\Pi(C_0)). Mit x'(t):=x_2+t(x_1-x_2) enthält T'=\{t\in\,]0,1[\,\mid\exists\alpha\in R\colon \alpha^\vee(x'(t))=0\} ein Element weniger als T. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es daher ein w\in\langle s_\pi\rangle_{\pi\in\alpha\Pi} = \langle s_\alpha s_\pi s_\alpha\rangle_{\pi\in\Pi} = \langle s_\pi\rangle_{\pi\in\Pi} mit w(C_2)=C_1. Wegen C_2=s_\pi(C_0) folgt die Behauptung.

Insbesondere operiert daher W auf der Menge der Weylkammern und ebenso auch auf der Menge der Fundamentalsysteme. Es zeigt sich aber auch, da jede Hyperebene \ker\alpha^\vee mit \alpha\in R einen Teil der Begrenzung mindestens einer Weylkammer bildet, dass s_\alpha ein Element von \langle\pi\rangle_{\pi\in\Pi} ist, wobei \Pi ein beliebiges Fundamentalsystem ist. \Box

Die Bilder eines Fundamentalsystems unter der Weyl-Gruppe überdecken das gesamte reduzierte WurzelsystemBearbeiten

Satz: Ist R ein reduziertes Wurzelsystem und \alpha\in R eine beliebige Wurzel, so gibt es ein Fundamentalsystem \Pi\subseteq R mit \alpha\in\Pi.

Beweis: ObdA. gilt K=\mathbb R. Sind \alpha,\beta zwei Wurzeln, so stimmen die Orthogonalräume \ker\alpha^\vee, \ker\beta^\vee genau dann überein, wenn \alpha,\beta linear abhängig sind. Somit gibt es ein v\in V mit \langle\alpha,v\rangle=0 und \langle\beta,v\rangle\neq 0 für alle \beta\neq\pm\alpha. Für hinreichend großes t\in\mathbb R ist dann h\colon V\to \mathbb R,\,x\mapsto\langle\alpha+tv,x\rangle eine Höhenfunktion und es gilt |h(\beta)| > h(\alpha)=\langle\alpha,\alpha\rangle für alle \beta\neq\pm\alpha. Für das zu der Höhenfunktion gehörige Fundamentalsystem \Pi muß gelten, dass es mindestens ein \pi\in\Pi gibt mit 0<h(\pi)\leq h(\alpha). Es folgt \alpha\in\Pi. \Box


Korollar: Ist R ein reduziertes Wurzelsystem und \Pi\in R ein Fundamentalsystem, so gilt W\Pi=R.

Beweis: Ist \alpha\in R, so gibt es ein Fundamentalsystem \Pi' mit \alpha\in\Pi' und ein w\in W mit \Pi'=w\Pi. \Box

Analyse der Dynkin-DiagrammeBearbeiten

Im Folgenden sei R ein irreduzibles reduziertes Wurzelsystem. Wir setzen K=\mathbb{R} voraus. Sei \Pi\subseteq R ein Fundamentalsystem und ein W-invariantes Skalarprodukt \langle\cdot,\cdot\rangle fest gewählt. Das Skalarprodukt wird bezüglich der Basis \Pi durch eine symmetrische positiv definite Matrix C=(c_{ij})_{i,j} mit c_{ij}=c_{ji}=\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle beschrieben, die sogenannte Cartan-Marix. Dies und die Kenntnis der möglichen Beziehungen zwischen zwei Wurzeln sind die einzigen Eigenschaften, die für die Klassifikation benutzt werden. Als Hilfsmittel werden Dynkin-Diagramme eingesetzt, die diese Beziehungen grafisch codieren, indem jeder Basisvektor einem Knoten entspricht und zwischen den Knoten verschiedene Linien gezeichnet werden.

Da W transitiv auf der Menge der Fundamentalsysteme operiert, hängt das Dynkin-Diagramm nicht von der getroffenen Wahl ab. Da außerdem aus einem Fundamentalsystem \Pi und dem zugehörigen Dynkin-Diagramm das komplette Wurzelsystem rekonstruierbar ist (die Operation der s_\pi auf V wird durch das Diagramm determiniert, die hiervon erzeugte Gruppe bildet \Pi auf ganz R ab), ist das Dynkin-Diagramm ein geeignetes Klassifizierungsmerkmal für reduzierte Wurzelsysteme.

Wir erinnern uns, dass bei zwei Wurzeln \alpha,\beta mit \langle\alpha,\beta\rangle nur folgende Fälle möglich sind:

  1. \langle\alpha,\beta\rangle=0; Cartan-Matrix \left(\begin{matrix}t&0\\0&u\end{matrix}\right) mit positiven reellen Zahlen t,u; symbolisiert durch keine Verbindung DynkinA1xA1.svg
  2. \langle\alpha,\alpha\rangle=\langle\beta,\beta\rangle=-2\langle\alpha,\beta\rangle; Cartan-Matrix positiv skalares Vielfaches von \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right); symbolisiert durch eine einfache Linie DynkinA2.svg
  3. \langle\alpha,\alpha\rangle=2\langle\beta,\beta\rangle=-2\langle\alpha,\beta\rangle; Cartan-Matrix positiv skalares Vielfaches von \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right); symbolisiert durch einen Doppelpfeil von \alpha nach \beta DynkinF2.svg
  4. \langle\alpha,\alpha\rangle=3\langle\beta,\beta\rangle=-2\langle\alpha,\beta\rangle; Cartan-Matrix positiv skalares Vielfaches von \left(\begin{matrix}6&-3\\-3&2\end{matrix}\right); symbolisiert durch einen Dreifachpfeil von \alpha nach \beta DynkinG2.svg
  5. die vorhergehenden beiden Fälle mit vertauschten Rollen von \alpha und \beta

Ist das Dynkin-Diagramm nicht zusammenhängend, so sind alle zu einer Zusammenhangskomponente gehörenden Basisvektoren zu allen übrigen orthogonal und das Wurzelsystem ist reduzibel. Wir setzen daher das Dynkin-Diagramm als zusammenhängend voraus.

Von diversen Konfigurationen wird nachgewiesen, dass sie nicht auftreten können:

Dreifachpfeil mit weiterer KanteBearbeiten

Verbotene Konfigurationen mit einem Dreifachpfeil

Kombiniert man eine Matrix \left(\begin{matrix}6&-3\\-3&2\end{matrix}\right) mit einem Vielfachen von \left(\begin{matrix}2k&-k\\-k&2\end{matrix}\right) (k\in\{1,2,3\}), so ergibt sich je nach Anordnung eine der folgenden Matrizen:


\left(\begin{matrix}6&-3&\\-3&2&-k\\&-k&2k\end{matrix}\right),\;
\left(\begin{matrix}6&-3&\\-3&2&-1\\&-1&2/k\end{matrix}\right),\;
\left(\begin{matrix}2&-3&\\-3&6&-3k\\&-3k&6k\end{matrix}\right),\;
\left(\begin{matrix}2&-3&\\-3&6&-3\\&-3&6/k\end{matrix}\right).

Hierbei sind die Leerstellen jeweils unbekannt, aber gewiß nicht-positiv. Indem man jeweils einen von 0 verschiedenen Zeilenvektor v findet, für den vCv^T\leq 0 ist, folgt, dass die betreffende Konstellation nicht zulässig ist. Sofern v komponentenweise nicht-negativ ist, genügt es, den Fall zu betrachten, dass alle Leerstellen in den Matrzen 0 sind. Man ist sogar bereits fertig, falls v komponentenweise nicht-negativ und vC komponentenweise nicht-positiv ist.

Auf diese Weise findet man für die erste Matrix

\left(\begin{matrix}1&2&1\end{matrix}\right)\cdot C  = \left(\begin{matrix}0&1-k&0\end{matrix}\right),

für die zweite

\left(\begin{matrix}1&2&1\end{matrix}\right)\cdot C  = \left(\begin{matrix}0&0&\frac 2k-2\end{matrix}\right),

für die dritte

\left(\begin{matrix}3&2&1\end{matrix}\right)\cdot C  = \left(\begin{matrix}0&3-3k&0 \end{matrix}\right),

für die vierte

\left(\begin{matrix}3&2&1\end{matrix}\right)\cdot C  = \left(\begin{matrix}0&0&\frac 6k-6\end{matrix}\right).

Wegen k\geq 1 ist das Ergebnis in der Tat jeweils nicht-positiv.

Da ein Dreifachpfeil somit in keinem größeren (zusammenhängenden) Dynkin-Diagramm auftreten kann, brauchen wir im Folgenden Dreifachpfeile nicht mehr berücksichtigt zu werden.

Doppelpfeil mit Pfad zu einer weiteren DoppelkanteBearbeiten

Verbotene Konstellationen mit zwei Doppelpfeilen

Kombiniert man zwei Matrizen \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right) bzw. skalare Vielfache hiervon und überbrückt gegebenenfalls durch Vielfache von \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right), so ergibt sich je nach Anordnung einer der folgenden Fälle:


\left(\begin{matrix}
4&-2\\
-2&2&-1\\
&-1&2&-1\\
&&\ddots&\ddots&\ddots\\
&&&-1&2&-1\\
&&&&-1&1
\end{matrix}\right),\;
\left(\begin{matrix}
4&-2\\
-2&2&-1\\
&-1&2&-1\\
&&\ddots&\ddots&\ddots\\
&&&-1&2&-2\\
&&&&-2&4
\end{matrix}\right),\;
\left(\begin{matrix}
1&-1\\
-1&2&-1\\
&-1&2&-1\\
&&\ddots&\ddots&\ddots\\
&&&-1&2&-1\\
&&&&-1&1
\end{matrix}\right).

Für die erste Matrix ist

\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2&2\end{pmatrix}\cdot C = 0,

für die zweite

\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2&1\end{pmatrix}\cdot C = 0,

für die dritte

\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1&1\end{pmatrix}\cdot C = 0.

Folglich können diese Konstellationen sämtlich nicht auftreten, das Dynkin-Diagramm eines irrduziblen Wurzelsystems enthält höchstens einen Doppelpfeil.


Doppelpfeil mit Pfad zu einer VerzweigungBearbeiten

Verbotene Konstellationen mit Doppelpfeil und Verzweigung

Die Kombination aus einem Doppelpfeil und einer Verzweigung von zwei Einfachkanten, gegebenenfalls verbunden über einige Einfachkanten entspricht, je nach Anordnung, den folgenden Matrizen:


\begin{pmatrix}
4&-2\\
-2&2&-1\\
&-1&2&-1\\
&&\ddots&\ddots&\ddots\\
&&&-1&2&-1&-1\\
&&&&-1&2\\
&&&&-1&&2\\
\end{pmatrix},\;
\begin{pmatrix}
1&-1\\
-1&2&-1\\
&-1&2&-1\\
&&\ddots&\ddots&\ddots\\
&&&-1&2&-1&-1\\
&&&&-1&2\\
&&&&-1&&2\\
\end{pmatrix}.

Man verifiziert in diesen Fällen

\begin{pmatrix}1&2&2&\cdots&2&1&1\end{pmatrix}\cdot C = \begin{pmatrix}0&0&0&\cdots&0&0&-1&-1\end{pmatrix}

bzw.

\begin{pmatrix}2&2&2&\cdots&2&1&1\end{pmatrix}\cdot C = \begin{pmatrix}0&0&0&\cdots&0&0&0&0\end{pmatrix}.

Auch diese Konstellationen sind also unzulässig.

Ergänzung eines Doppelpfeils zu einem KreisBearbeiten

Kreis mit einem Doppelpfeil

Ein graphentheoretischer Kreis aus einer oder mehreren Einfachkanten sowie einem Doppelpfeil ist schon deshalb unmöglich, weil durch Einfachkanten verbundene Wurzeln gleiche Länge haben, während die durch einen Doppelpfeil verbundenen verschieden lang sein müßten.

Doppelpfeil mit drei auf beide Enden verteilten KantenBearbeiten

Unzulässige Erweiterungen von F4 durch Einfachkanten

Ein linearer Graph mit einem Doppelpfeil und drei EInfachkanten, die nicht alle auf derselben Seite des Doppelpfeils liegen, liefert eine der beiden folgenden Matrizen:


\begin{pmatrix}
4&-2\\
-2&4&-2\\
&-2&2&-1\\
&&-1&2&-1\\
&&&-1&2
\end{pmatrix}
,\;
\begin{pmatrix}
4&-2\\
-2&4&-2\\
&-2&4&-2\\
&&-2&2&-1\\
&&&-1&2
\end{pmatrix}
.

Man verifiziert

\begin{pmatrix}1&2&3&2&1\end{pmatrix}\cdot C = 0

bzw.

\begin{pmatrix}1&2&3&4&2\end{pmatrix}\cdot C = 0.

Auch diese Konstellationen sind also unzulässig. Hiermit sind alle für den Doppelpfeil auszuschließenden Fälle abgearbeitet, so dass in den weiteren Fällen nur noch einfache Kanten berücksichtigt zu werden brauchen.

Kreis aus einfachen KantenBearbeiten

Unzulässiger Kreis aus Einfachkanten

In einem Kreis aus Einfachkanten ist jeder Punkt mit genau zwei anderen Punkten verbunden. Dadurch steht in jeder Spalte (oder Zeile) der Matrix in zwei Stellen das -\tfrac 12-fache des Wertes auf der Diagonalen. Es folgt daher sofort, dass der Vektor v=\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\end{pmatrix} geeignet ist, um die Unzulässigkeit dieser Konstellation zu zeigen.

Die einzigen erlaubten Diagramme aus Einfachkanten sind also Bäume im graphentheoretischen Sinne.

Knoten mit vier oder mehr einfachen KantenBearbeiten

Knoten vom Grad vier

Ist ein Knoten mit vier anderen jeweils durch eine einfache Kante verbunden, so führt dies auf die Matrix

\begin{pmatrix}
2&-1&-1&-1&-1\\
-1&2\\
-1&&2\\
-1&&&2\\
-1&&&&2
\end{pmatrix}.

Hier gilt \begin{pmatrix}2&1&1&1&1\end{pmatrix}\cdot C=0.

Der maximale erlaubte Grad eines Knotens ist folglich drei.

Zwei VerzweigungenBearbeiten

Zwei verbundene VErzweigungen

Gibt es im Dynkin-Diagramm zwei Knoten vom Grad drei, die über einen Pfad aus Einfachkanten verbunden sind, so führt dies auf folgende Matrix:


\begin{pmatrix}
2&&-1\\
&2&-1\\
-1&-1&2&-1\\
&&-1&2&-1\\
&&&\ddots&\ddots&\ddots\\
&&&&-1&2&-1&-1\\
&&&&&-1&2\\
&&&&&-1&&2\\
\end{pmatrix}.

Dann ist jedoch \begin{pmatrix}1&1&2&2&2&\cdots&2&1&1\end{pmatrix}\cdot C=0.

Somit gibt es höchstens einen Verzweigungsknoten im Dynkin-Diagramm.

Verzweigung mit kürzestem Zweig länger als eine KanteBearbeiten

Verzweigung, bei der alle Zweige mindestens Länge 2 haben

Liegt ein Knoten vom Grad drei vor und ist jeder der drei Zweige mindestens zwei Kanten lang, so ergibt sich die Matrix

\begin{pmatrix}
2&-1&-1&-1\\
-1&2&&&-1\\
-1&&2&&&-1\\
-1&&&2&&&-1\\
&-1&&&2\\
&&-1&&&2\\
&&&-1&&&2
\end{pmatrix}.

Es folgt \begin{pmatrix}3&2&2&2&1&1&1\end{pmatrix}\cdot C=0. Ist ein Verzweigungspunkt vorhanden, muß also der kürzeste Zweig die Länge eins haben.

Verzweigung mit zweitkürzestem Zweig länger als zwei KantenBearbeiten

Der zweitkürzeste Zweig ist länger als zwei Kanten

Liegt ein Verzweigungspunkt vor, bei dem zwei Zweige mindestens drei Kanten umfassen, so ergibt sich die Matrix

\begin{pmatrix}
2&-1\\
-1&2&-1&-1\\
&-1&2&&-1\\
&-1&&2&&-1\\
&&-1&&2&&-1\\
&&&-1&&2&&-1\\
&&&&-1&&2\\
&&&&&-1&&2
\end{pmatrix}.

Es folgt \begin{pmatrix}2&4&3&3&2&2&1&1\end{pmatrix}\cdot C=0. Der zweitkürzeste Zweig darf also allenfalls eine oder zwei Kanten umfassen.

E9 und höherBearbeiten

Das Diagramm E9

Die Reihe der En-Diagramme endet bereits bei n=8. In der Tat liefert das Diagramm E9, das aus einer Verzweigung mit einem Zweig der Länge eins, einem der Länge zwei und einem der Länge fünf besteht, die Matrix


\begin{pmatrix}
2&-1\\
-1&2&-1&&-1\\
&-1&2&-1&\\
&&-1&2\\
&-1&&&2&-1\\
&&&&-1&2&-1\\
&&&&&-1&2&-1\\
&&&&&&-1&2&-1\\
&&&&&&&-1&2
\end{pmatrix}.

Es ergibt sich \begin{pmatrix}3&6&4&2&5&4&3&2&1\end{pmatrix}\cdot C=0.

Zusammenfassung der KlassifikationBearbeiten

Als Ergebnis der vorstehenden Untersuchungen über verbotene Konfigurationen ergibt sich

  • G_2 ist der einzige Kandidat für ein Dynkin-Diagramm mit einem Dreifachpfeil.

Weiter sind die einzigen Kandidaten mit einem Doppelpfeil

  • die Serien B_n, n\geq 2, und C_n, n\geq 3 (es ist C_2=B_2), mit Kanten an höchstens einer Seite des Doppelpfeils,
  • der Ausnahmefall F_4 mit Kanten an beiden Enden des Doppelpfeils.

Diagramme aus Einfachkanten sind grundsätzlich einfach aufgebaute Bäume. Die einzigen Kandidaten mit einer Verzweigung sind

  • die Serie D_n, n\geq 4, bei der der zweitkürzeste Zweig die Länge 1 hat,
  • die Ausnahmefälle E_6, E_7, E_8, bei denen der zweitkürzeste Zweig die Länge 2 hat.

Ansonsten bleiben nur unverzweigte Diagramme mit einfachen Kanten, also

  • die Serie A_n, n\geq 1.

Konstruktion von Beispielen zu jedem TypBearbeiten

AnBearbeiten

Betrachte den n-dimensionalen Unterraum V des \mathbb{R}^{n+1} derjenigen Vektoren, deren Summe aller Komponenten 0 ist, d.i. der Orthogonalraum zu e_1+e_2+\cdots+e_{n+1}. Die Vektoren der Form e_i-e_j mit i\neq j bilden ein Wurzelsystem vom Typ A_n mit insgesamt n^2+n Wurzeln. Ein Fundamentalsystem ist \{e_i-e_{i+1}\mid 1\leq i<=n\}. Zu \alpha=e_i-e_j ist s_\alpha gerade die Abbildung, die e_i und e_j vertauscht, woraus sich W\cong S_{n+1} ergibt: Die Weylgruppe ist die Gruppe der Permutationen der Standardbasis von \mathbb{R}^{n+1} und hat (n+1)! Elemente.

BnBearbeiten

Betrachte im \mathbb{R}^n alle Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten, deren Länge 1 oder \sqrt 2 ist, das sind alle Vektoren der Form \pm e_i mit 1\leq i\leq n oder \pm e_i\pm e_j mit 1\leq i<j\leq n. Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ B_n mit 2n^2 Wurzeln, 2n kurze und 2n^2-2n lange. Ein Fundamentalsystem besteht aus e_1-e_2, e_2-e_3, \ldots, e_{n-1}-e_n, e_n. Die Weylgruppe operiert durch Permutation der Standardbasis und komponentenweisen Vorzeichenwechsel, d.h. sie ist ein semidirektes Produkt W\cong C_2^n\rtimes S_n mit 2^n\cdot n! Elementen.

CnBearbeiten

Betrachte im \mathbb{R}^n alle Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten, deren Länge 2 oder \sqrt 2 ist, das sind alle Vektoren der Form \pm 2e_i mit 1\leq i\leq n oder \pm e_i\pm e_j mit 1\leq i<j\leq n. Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ C_n mit 2n^2 Wurzeln, 2n^2-2n kurze und 2n lange. Ein Fundamentalsystem besteht aus e_1-e_2, e_2-e_3, \ldots, e_{n-1}-e_n, 2e_n. Die Weylgruppe ist isomorph zu der von B_n, d.h. W\cong C_2^n\rtimes S_n und hat 2^n\cdot n! Elemente.

DnBearbeiten

Betrachte im \mathbb{R}^n alle Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten und Länge \sqrt 2, das sind die Vektoren der Form \pm e_i\pm e_j mit 1\leq i<j\leq n. Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ D_n mit 2n^2-2n Wurzeln. Ein Fundamentalsystem bilden die Wurzeln e_1-e_2, e_2-e_3, \ldots, e_{n-1}-e_n, e_{n-1}+e_n. Die Weylgruppe ist eine Normalteiler der Weylgruppe zu B_n bzw. C_n, es ist W\cong C_2^{n-1}\rtimes S_n, die Gruppe hat 2^{n-1}\cdot n! Elemente und operiert durch Permutation der Standardbasis und gerade Vorzeichenwechsel.

E6, E7, E8Bearbeiten

Betrachte im \mathbb{R}^8 die ganzzahligen Vektoren der Länge \sqrt 2 sowie die Vektoren, deren sämtliche Komponenten \pm\tfrac 1 2 sind, hierunter je gerade viele +\tfrac 12 und -\tfrac 12. Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ E_8 mit 240 Elementen. Ein Fundamentalsystem ist \tfrac 12(e_1-e_2-e_3-\cdots-e_7+e_8), e_1+e_2, e_2-e_1, e_3-e_2, e_4-e_3, e_5-e_4, e_6-e_5, e_7-e_6.

Ein Wurzelsystem vom Typ E_7 bzw. E_6 erhält man, indem man auf den von den ersten 7 bzw. 6 Fundamentalwurzeln aufgespannten Unterraum einschränkt. Die entstehenden Systeme haben 126 bzw. 72 Wurzeln.

F4Bearbeiten

Berachte im \mathbb{R}^4 die ganzzahligen Vektoren der Länge 1 oder \sqrt 2 sowie die halb-ganzzahligen Vektoren der Länge 1, das sind alle \pm e_i, 1\leq i\leq 4, alle \pm e_i\pm e_j, 1\leq i<j\leq 4 sowie \tfrac 12(\pm e_1\pm e_2\pm e_3\pm e_4). Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ F_4 und hat 48 Elemente. Ein Fundamentalsystem ist e_2-e_3, e_3-e_4, e_4, -\tfrac 12(e_1+e_2+e_3+e_4).

G2Bearbeiten

Wurzelsystem G2

Zur Konstruktion des Wurzelsystems G_2 im \mathbb{R}^2 vergleiche nebenstehende Abbildung. Mit \alpha=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}^T und \beta=\begin{pmatrix}-\frac 32&\frac 12\sqrt 3\end{pmatrix}^T als Fundamentalsystem besteht es aus den 12 Wurzeln \pm\alpha,\pm\beta,\pm(\beta+\alpha),\pm(\beta+2\alpha),\pm(\beta+3\alpha),\pm(2\beta+3\alpha). Die Weylgruppe ist die Symmetriegruppe des Hexagons, W\cong D_6\cong C_6\rtimes C_2 und hat 12 Elemente.

Nicht reduzierte WurzelsystemeBearbeiten

Ist R ein Wurzelsystem, so ist R':=\{\alpha\in R\mid \frac 12 \alpha\not\in R\} ein reduziertes Wurzelsystem und fällt daher unter obige Klassifikation. Da die Weylgruppe ein Fundamentalsystem \Pi von R' nach ganz R' transportiert, ist R vollständig charakterisiert, wenn man weiß, für welche \alpha\in\Pi auch 2\alpha\in R gilt.

Sei \alpha\in\Pi mit 2\alpha\in R. Ist \beta\in\Pi eine weitere Fundamentalwurzel, so folgt (2\alpha)^\vee\beta = \frac 12 \cdot\alpha^\vee\beta und \beta^\vee(2\alpha)=2\cdot\beta^\vee\alpha. Sofern \alpha und \beta im Dynkin-Diagramm direkt verbunden sind, so ist dies nur möglich, falls \alpha^\vee\beta=\beta^\vee(2\alpha)=-2 und (2\alpha)^\vee\beta=\beta^\vee(\alpha)=-1 gilt. Dann muss \alpha der Endknoten eines B_n-Diagramms sein (inklusive dem Fall n=1).

Es ergibt sich also gegenüber den reduzierten Wurzelsystemen nur ein Zusatzfall:

Bn∪CnBearbeiten

Betrachte im \mathbb{R}^n alle Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten, deren Länge 1 oder \sqrt 2 oder 2 ist, das sind alle Vektoren der Form \pm e_i oder \pm 2e_i mit 1\leq i\leq n oder \pm e_i\pm e_j mit 1\leq i<j\leq n. Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ B_n\cup C_n mit 2n^2+2n Wurzeln, je 2n der Länge 1 bzw. 2 und 2n^2-2n der Länge \sqrt 2. Ein Fundamentalsystem besteht aus e_1-e_2, e_2-e_3, \ldots, e_{n-1}-e_n, e_n, also einem Fundamentalsystem des enthaltenen B_n.

Die Weylgruppe ist die des enthaltenen B_n bzw. C_n, d.h. W\cong C_2^n\rtimes S_n und hat 2^n\cdot n! Elemente.

Wikipedia-VerweisBearbeiten

Zuletzt geändert am 28. März 2013 um 16:35