Aufgabensammlung Mathematik: Summe, Produkt und Quotient lokal Lipschitz-stetiger Funktionen sind wieder lokal Lipschitz-stetig

Summe, Produkt und Quotient lokal Lipschitz-stetiger Funktionen sind wieder Lipschitz-stetig

Seien $f$ und $g$ zwei lokal Lipschitz-stetige Funktionen zwischen dem metrischen Raum $(X,d)$ und dem Körper $\mathbb {K}$. Beweise

1. $-f$ ist lokal Lipschitz-stetig
2. $f+g$ ist lokal Lipschitz-stetig
3. Ist $X$ ein normierter, endlichdimensionaler Vektorraum über $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$, so ist $f\cdot g$ ist lokal Lipschitz-stetig
4. Besitzt $g$ keine Nullstellen und ist $X$ ein normierter, endlichdimensionaler Vektorraum über $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$, dann ist ${\frac {f}{g}}$ lokal Lipschitz-stetig

Beweis

Teilaufgabe 1: $-f$ ist lokal Lipschitz-stetig

Sei $x_{0}\in X$ beliebig. Da $f$ Lipschitz-stetig ist, gibt es ein $\epsilon >0$ und ein $L>0$, so dass $\left|f({\tilde {x}})-f({\tilde {y}})\right|\leq L\cdot d({\tilde {x}},{\tilde {y}})$ für alle ${\tilde {x}},{\tilde {y}}\in X$ mit $d({\tilde {x}},x_{0})<\epsilon$ und $d({\tilde {y}},x_{0})<\epsilon$. Dann ist für alle ${\tilde {x}},{\tilde {y}}\in X$ mit $d({\tilde {x}},x_{0})<\epsilon$ und $d({\tilde {y}},x_{0})<\epsilon$:

$\left|(-f)({\tilde {x}})-(-f)({\tilde {y}})\right|=\left|-f({\tilde {x}})+f({\tilde {y}})\right|=\left|f({\tilde {x}})-f({\tilde {y}})\right|\leq L\cdot d({\tilde {x}},{\tilde {y}})$

Damit ist $-f$ auf der Menge $B_{\epsilon }(x_{0}):=\{y\in X\,|\,d(y,x_{0})<\epsilon \}$ Lipschitz-stetig bezüglich der Lipschitz-Konstante $L$. Da $x_{0}\in X$ beliebig war, ist $-f$ lokal Lipschitz-stetig.

Teilaufgabe 2: $f+g$ ist lokal Lipschitz-stetig

Sei $x_{0}\in X$ beliebig. Da $f$ und $g$ Lipschitz-stetig sind, gibt es ein $\epsilon _{g}>0$ und ein $\epsilon _{f}>0$, so dass $f$ auf dem offenem Ball $B_{\epsilon _{f}}(x_{0})$ zur Lipschitz-Konstante $K_{f}>0$ und $g$ auf $B_{\epsilon _{g}}(x_{0})$ zur Lipschitz-Konstante $K_{g}>0$ Lipschitz-stetig ist. Sei $\epsilon :=\min\{\epsilon _{f},\,\epsilon _{g}\}$. Dann ist für alle ${\tilde {x}},{\tilde {y}}\in X$ mit $d({\tilde {x}},x_{0})<\epsilon$ und $d({\tilde {y}},x_{0})<\epsilon$:

${\begin{aligned}\left|(f+g)({\tilde {x}})-(f+g)({\tilde {y}})\right|&=\left|f({\tilde {x}})-f({\tilde {y}})+g({\tilde {x}})-g({\tilde {y}})\right|\\&\leq \left|f({\tilde {x}})-f({\tilde {y}})\right|+\left|g({\tilde {x}})-g({\tilde {y}})\right|\\&\leq K_{f}\cdot d({\tilde {x}},{\tilde {y}})+K_{g}\cdot d({\tilde {x}},{\tilde {y}})\\&=\left(K_{f}+K_{g}\right)\cdot d({\tilde {x}},{\tilde {y}})\end{aligned}}$

Damit ist $f+g$ auf dem offenen Ball $B_{\epsilon }(x_{0})$ Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten $K_{f}+K_{g}$ und damit ingesamt lokal Lipschitz-stetig.

Teilaufgabe 3: $f\cdot g$ ist lokal Lipschitz-stetig ($X$ ist ein normierter, endlichdimensionaler Vektorraum über $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {R}$)

Sei $x_{0}\in X$ beliebig. Da $f$ und $g$ lokal Lipschitz-stetig sind, gibt es $\epsilon _{f},\epsilon _{g}>0$, so dass $f$ auf dem offenem Ball $B_{\epsilon _{f}}(x_{0})$ zur Lipschitz-Konstante $K_{f}>0$ und $g$ auf $B_{\epsilon _{g}}(x_{0})$ zur Lipschitz-Konstante $K_{g}>0$ Lipschitz-stetig ist. Sei $\epsilon :=\min\{{\tfrac {1}{2}}\cdot \epsilon _{f},\,{\tfrac {1}{2}}\cdot \epsilon _{g}\}$. Dann ist sowohl $f$ als auch $g$ auf dem abgeschlossenen und beschränkten Ball ${\overline {B}}_{\epsilon }(x_{0}):=\{y\in X\,|\,d(y,x_{0})\leq \epsilon \}$ wohldefiniert. Da $X$ ein endlichdimensionaler, normierter Vektorraum über $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {R}$ ist, ist ${\overline {B}}_{\epsilon }(x_{0})$ nach dem Satz von Heine-Borel kompakt. Damit nehmen $|f|$ und $|g|$ auf ${\overline {B}}_{\epsilon }(x_{0})$ ihr Maximum $M_{f}$ beziehungsweise $M_{g}$ an. Nun gilt für alle ${\tilde {x}},{\tilde {y}}\in X$ mit $d({\tilde {x}},x_{0})<\epsilon$ und $d({\tilde {y}},x_{0})<\epsilon$:

${\begin{aligned}|(f\cdot g)({\tilde {x}})-(f\cdot g)({\tilde {y}})|&=|f({\tilde {x}})g({\tilde {x}})-f({\tilde {y}})g({\tilde {y}})|\\&=|f({\tilde {x}})g({\tilde {x}})-f({\tilde {y}})g({\tilde {x}})+f({\tilde {y}})g({\tilde {x}})-f({\tilde {y}})g({\tilde {y}})|\\&=|g({\tilde {x}})\left(f({\tilde {x}})-f({\tilde {y}})\right)+f({\tilde {y}})\left(g({\tilde {x}})-g({\tilde {y}})\right)|\\&\leq |g({\tilde {x}})|\cdot |f({\tilde {x}})-f({\tilde {y}})|+|f({\tilde {y}})|\cdot |g({\tilde {x}})-g({\tilde {y}})|\\&\leq M_{g}\cdot |f({\tilde {x}})-f({\tilde {y}})|+M_{f}\cdot |g({\tilde {x}})-g({\tilde {y}})|\\&\leq M_{g}\cdot K_{f}\cdot d({\tilde {x}},{\tilde {y}})+M_{f}\cdot K_{g}\cdot d({\tilde {x}},{\tilde {y}})\\&\leq \left(M_{g}\cdot K_{f}+M_{f}\cdot K_{g}\right)\cdot d({\tilde {x}},{\tilde {y}})\end{aligned}}$

Damit ist $f\cdot g$ auf dem offenen Ball $B_{\epsilon }(x_{0})$ Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten $M_{g}\cdot K_{f}+M_{f}\cdot K_{g}$ und somit ingesamt lokal Lipschitz-stetig.

Teilaufgabe 4: ${\tfrac {f}{g}}$ ist lokal Lipschitz-stetig ($X$ ist ein normierter, endlichdimensionaler Vektorraum über $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {R}$ und $g$ besitzt keine Nullstellen)

Weil ${\tfrac {f}{g}}=f\cdot {\tfrac {1}{g}}$ ist, muss nach Teilaufgabe 3 nur noch gezeigt werden, dass ${\tfrac {1}{g}}$ lokal Lipschitz-stetig ist. Sei $x_{0}\in X$ beliebig. Da $g$ lokal Lipschitz-stetig ist, gibt es $\epsilon _{g}>0$, so dass $g$ auf dem offenem Ball $B_{\epsilon _{g}}(x_{0})$ zur Lipschitz-Konstante $K_{g}>0$ Lipschitz-stetig ist. Sei $\epsilon :={\tfrac {1}{2}}\cdot \epsilon _{g}$. Es ist die Funktion ${\tfrac {1}{g}}$ auf dem beschränkten und abgeschlossenen Ball ${\overline {B}}_{\epsilon }(x_{0})$ wohldefiniert. Da $X$ ein endlichdimensionaler, normierter Vektorraum über $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {R}$ ist, ist ${\overline {B}}_{\epsilon }(x_{0})$ nach dem Satz von Heine-Borel kompakt. Damit nimmt $\left|{\tfrac {1}{g}}\right|$ auf ${\overline {B}}_{\epsilon }(x_{0})$ ihr Maximum $M$ an. Nun gilt für alle ${\tilde {x}},{\tilde {y}}\in X$ mit $d({\tilde {y}},x_{0})<\epsilon$:

${\begin{aligned}\left|{\frac {1}{g({\tilde {x}})}}-{\frac {1}{g({\tilde {y}})}}\right|&=\left|{\frac {g({\tilde {x}})-g({\tilde {y}})}{g({\tilde {x}})g({\tilde {y}})}}\right|\\&=\left|{\frac {1}{g({\tilde {x}})}}\right|\cdot \left|{\frac {1}{g({\tilde {y}})}}\right|\cdot \left|g({\tilde {x}})-g({\tilde {y}})\right|\\&\leq M\cdot M\cdot \left|g({\tilde {x}})-g({\tilde {y}})\right|\\&\leq M^{2}\cdot K_{g}\cdot d({\tilde {x}},{\tilde {y}})\\\end{aligned}}$

Damit ist ${\tfrac {1}{g}}$ auf dem offenen Ball $B_{\epsilon }(x_{0})$ Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten $M^{2}\cdot K_{g}$ und somit ingesamt lokal Lipschitz-stetig.